整式知識點

一、知識梳理：

現(xiàn)實世界、其他學(xué)科、數(shù)學(xué)中的問題情境  

①整式的加減

②冪

整式及其運算

             ③整式的乘法

解決問題       ④整式的除法

二、知識要點：

1、單項式、多項式、單項式的次數(shù)、多項式的次數(shù)、整式、同類項

1.單項式

  （1）單項式的概念：數(shù)與字母的積這樣的代數(shù)式叫做單項式，單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式。

  注意：數(shù)與字母之間是乘積關(guān)系。

  （2）單項式的系數(shù)：單項式中的字母因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。

  如果一個單項式，只含有字母因數(shù)，是正數(shù)的單項式系數(shù)為1，是負(fù)數(shù)的單項式系數(shù)為—1。

  （3）單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。

2.多項式

  （1）多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。多項式中的符號，看作各項的性質(zhì)符號。

  （2）多項式的次數(shù)：多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。

  （3）多項式的排列：

  1.把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列。

  2.把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。

3.整式： 單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

4.同類項的概念：

  所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項叫做同類項，幾個常數(shù)項也叫同類項。

2、整式的加減（合并同類項）

  1.合并同類項的概念：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。

  2.合并同類項的法則：同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

  3.合并同類項步驟：

  ⑴．準(zhǔn)確的找出同類項。

  ⑵．逆用分配律，把同類項的系數(shù)加在一起（用小括號），字母和字母的指數(shù)不變。

  ⑶．寫出合并后的結(jié)果。

3、冪的運算法則：

①          （m、n都是正整數(shù)）

②           （m、n都是正整數(shù)）    冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

③            （n是正整數(shù)）  積的乘方：把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。

④          （a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m>n） 同底數(shù)冪相除：底數(shù)不變，指數(shù)相減。

⑤            （a≠0）

⑥           （a≠0，p是正整數(shù)）

4、整式的乘法：

單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式

單項式與單項式相乘有以下法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

  單項式與多項式相乘有以下法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

  多項式與多項式相乘有下面的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

   平方差公式：                 

完全平方公式：                     ，                        

平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。

   完全平方公式：兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的2倍。 兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和，減去這兩積的2倍。

5、整式的除法

單項式除以單項式，多項式除以單項式

單項式與單項式相除有以下法則：單項式與單項式相除，把它們的系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，除數(shù)中多余的字母連同它的指數(shù)不變，作為積的形式。

單項式與多項式相除有以下法則：多項式與單項式相除，先用多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的積相加。

運算順序

  先乘除， 后加減。  諾有括號， 最先做。 同級運算，從左到右。 掌握運算順序  不忙活!

三、考點例析：

一）、考查基本運算法則、公式等：

例1、（08佛山）計算：                 .

答案：；

點評：運用多項式相乘的法則即可；應(yīng)注意符號、及其合并同類項，把結(jié)果變?yōu)楹喡缘男问剑?/span>

例2、（08孝感）下列運算中正確的是（    ）

A．；B．；C．； D．

答案：D；點評：對照相應(yīng)的公式即可看出正確的答案來；

例3、（08廣州）下列式子中是完全平方式的是（    ）

A．    B．； C．； D． ；

答案：D．

點評：對照完全平方公式：可以看出：；

而其它三個選項都是錯誤的；

二）、同類項的概念

例4、 若單項式2am+2nbn-2m+2與a5b7是同類項，求nm的值．

   【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得 解出即可；求出：

所以：

三）、整式的化簡與運算

例5、(08江西)先化簡，再求值：

， 其中．

解：  ． 

當(dāng)時，原式．

點評：在化簡的過程中，可以適當(dāng)?shù)倪\用乘法公式、運算法則進(jìn)行簡便運算；

四）、定義新運算：

例6、（08孝感）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”，其規(guī)則為：，

則方程的解為       ．17．

點評：兩次運用題目中的新運算公式：（1）；

（2），所以：，求出：；

例7、（08 宿遷）對于任意的兩個實數(shù)對和，規(guī)定：當(dāng)時，有；運算“”為：；運算“”為：．設(shè)、都是實數(shù)，若，則．

點評：兩次運用題目中的新運算公式，不難求出問題的答案來：

（1）由：得出：，

所以：（2）

五）整體思想的運用：

 例8、計算： 

分析：這里的底數(shù)為：、，而這兩個式子恰為相反數(shù)，我們可以把看做一個字母：利用負(fù)數(shù)的偶次方是正數(shù)的原則變化：、兩項的底數(shù)為，所以有：

解：原式===；

點評：底數(shù)是多項式且以固定的形式（或者某一形式的相反數(shù)）時出現(xiàn)，這類冪的乘積運算問題，可以把固定的形式看做一個整體，常常變化次數(shù)是偶次的冪的底數(shù)為它的相反數(shù)，這樣變化不出現(xiàn)“-”，便于運算；應(yīng)注意變?yōu)橥讛?shù)的冪的一般方法的靈活運用；