擺線及相關問題

215003  蘇州市教育局教研室  羅強

 

一、問題的提出

    我們知道沿直線前進的自行車車輪上的點既隨著自行車作向前的直線運動，又以車軸為圓心作圓周運動，如果我們仔細觀察這個點的運動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線。

其實，很早以前人們就對沿直線前進的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認為這個軌跡是一段段周而復始的圓弧，也有人認為這個軌跡是一段段的拋物線。你認為呢？

二、擺線的定義與研究歷史

擺點

母圓

基線

擺線（Cycloid）：當一個圓沿一條定直線作無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線。定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點。

探討擺線的各種性質(zhì)是十七世紀數(shù)學家們的興趣集中點之一，歷史上較早對這種曲線給出定義的是法國數(shù)學家梅森（Marin Mersenne，1588年~1648年），他于1615年把當車輪沿地面作無滑動的滾動時，車輪邊緣上一個定點的軌跡定義為旋輪線。1637年，法國數(shù)學家笛卡爾出版了《幾何學》一書，把變量和直角坐標系引進數(shù)學，創(chuàng)建了解析幾何，成為“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點”。之后，有許多著名的學者對擺線進行了長期的研究。例如，法國科學家帕斯卡(Blaise Pascal，1623年~1662年)于1658年出版了《擺線通論》，對擺線進行了充分的研究，這給萊布尼茨很大的啟發(fā)，促使了微積分的建立；還有荷蘭數(shù)學家惠更斯，瑞士數(shù)學家約翰·伯努利，意大利科學家伽利略，英國數(shù)學家牛頓等許多著名的學者都曾研究過擺線，得到了許多重要的成果。隨著科學技術的發(fā)展，擺線在生產(chǎn)實踐中的應用越來越廣泛。

三、擺線的方程

圖1

a

(P)O

x

y

A

B

P

C

D

設圓的半徑為a，取圓滾動所沿的定直線為x軸，圓周上定點P落在直線上的一個位置為原點，建立直角坐標系（如圖1）。

設點P(x,y)為軌跡上任意一點，圓心滾動到B點時，圓與直線相切于A點。取∠ABP=θ為參數(shù)，作PD⊥Ox，PC⊥AB，垂足分別為D、C，因為OA的長等于的長，得

       因此，所求擺線的參數(shù)方程是

            ——（※）

如果消去參數(shù)θ，那么可以得到擺線在 內(nèi)一段的普通方程為

    在這個方程中出現(xiàn)了反三角函數(shù)，不便于對它進行討論和作圖，因此通常根據(jù)擺線的參數(shù)方程（※）來研究擺線的性質(zhì)。

四、擺線的兩個重要性質(zhì)

    在物理學中，擺線有兩項很重要的性質(zhì)，稱為最速降線性質(zhì)與等時性質(zhì)。

1.最速降線問題

B

A

當高層建筑失火時，最緊迫的也是最首要的問題是把高層居民盡快地救離失火大樓。這時，如果有一條長軟帶可以讓人踩在上面而滑到地面無疑是一個很好的解決辦法。但是，這條長軟帶成什么樣的曲線時，才能使人最快的逃離火海？這就是最速降線問題。

意大利科學家伽利略在1630年提出這個問題，并將此抽象為一個分析學的基本問題──“一個質(zhì)點在重力作用下，從給定點A到不在它垂直下方的另一點B，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短。” 顯然，直線不可能是最速降線，伽利略認為這曲線是圓弧，但這也是一個錯誤的答案。

瑞士數(shù)學家約翰·伯努利在1696年以挑戰(zhàn)的口吻向當時全歐洲的數(shù)學家再提出這個最速降線的問題，征求解答。次年，有多位數(shù)學家得到了正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達、約翰·伯努利和他的哥哥雅各布·伯努利。這個問題的困難之處在于和普通的已知函數(shù)求極大值極小值不同，它要求出一個未知函數(shù)（曲線）來滿足所給條件。這個問題的正確答案是連接兩個點上凹的一段擺線。約翰·伯努利的學生——大數(shù)學家歐拉也在1726年開始發(fā)表有關的論著，并在1744年最先給了這類問題的普遍解法，從而導致了變分法這一新的數(shù)學分支的產(chǎn)生。

    2.擺線的等時性質(zhì)

由于普通單擺的周期與振幅的大小有關，過去的重力齒輪式鐘往往走時不準。如果在擺的擺動平面內(nèi)做兩個擺線型擋板，在擋板的限制下，單擺的周期就與振幅的大小無關了，這時擺的運動軌跡也是一段擺線。十七世紀，擺線即以此性質(zhì)聞名，擺線的名稱也就是由此而來的。

C

A

B

什么是擺線的等時性質(zhì)呢？就是在將一個周期的擺線對基線作鏡面反射，則此段擺線的最高點A變成最低點，此時若一個質(zhì)點從此段擺線的任意點出發(fā)，在重力作用下沿擺線下滑，則它到達最低點A所需的時間與出發(fā)點的位置無關（亦即：從任意兩相異點出發(fā)，到達A點所需要的時間相同）?；蛘哒f：一個質(zhì)點，如一個光滑的小球，再沒有摩擦的情況下，無論把它放在擺線的那一點上，它受重力作用來回振動，那么，它的振動周期與振幅無關。因此利用擺線制作的鐘表擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線又稱等時曲線。

荷蘭物理學家、天文學家、數(shù)學家惠更斯對擺線做了比較充分的研究，1656年開始，惠更斯首先將擺引入時鐘，發(fā)明了擺鐘，并發(fā)表了《擺鐘》（1658年）及《擺式時鐘或用于時鐘上的擺的運動的幾何證明》（1673年）。在第二本書中，他提出了著名的單擺周期公式，指出單擺的運動不嚴格等時。而后他從證明擺線的幾何性質(zhì)開始，進而研究擺線在機械上的應用，最終利用擺線理論設計出了包含擒縱器結構的嚴格等時的擺鐘。

圖2

       五、其他類型擺線的有關問題

圖3

先做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列（如圖2），如果我們讓右側的硬幣繞左側硬幣作無滑動的滾動，那么右側硬幣上接觸點A的運動軌跡大致是什么形狀？當右側硬幣轉(zhuǎn)到左側時，硬幣面上的圖案向上還是向下？當右側硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？

哥白尼（Nicoiaus Copernicus,1473年~1543年）曾研究過這么一個問題，如果一個圓在直徑2倍于它的圓內(nèi)沿圓周滾動，則小圓周上的每個點的軌跡都是一條直線段。你能證明或否定這一結論嗎？

1.內(nèi)擺線：當一個圓在與其內(nèi)切的定圓內(nèi)作無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做內(nèi)擺線。

2.外擺線：當一個圓沿一個與它外切的定圓作無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做外擺線。

內(nèi)擺線和外擺線的方程、圖象和性質(zhì)請讀者自己研究。有一種稱為“繁花規(guī)”的玩具它畫出的實際上就是內(nèi)擺線型曲線，正如右圖所示，擺線家族的成員全都非常美麗，讀者不妨自己嘗試作一些看看。

    六、擺線的實際應用

一般地，在前進的汽車的車輪上不可能有向后運動的點，因為汽車車輪上的點的運動軌跡只可能是普通擺線或短擺線。但是，飛速前進的火車車輪上是可以找到向后運動的點的，因為火車車輪有著特殊的結構。它由三層圓盤重疊而成，外層的兩個圓盤半徑大于內(nèi)層圓盤的半徑，當內(nèi)層圓盤貼著鋼軌前進時，外層圓盤上就存在一部分長擺線的擺點。

聯(lián)合收割機前面的拔禾滾輪的運動軌跡就是長擺線，我們可以看到它是打著圈前進的，首先垂直插入麥穗，再向后撥麥桿讓割刀切割后，再垂直抽起，這就是拔禾滾輪的工作原理。

不少農(nóng)業(yè)機械如水稻插秧機秧爪排軸心的運動軌跡，旋耕機刀片端點的運動軌跡都是擺線型曲線。

十五世紀的意大利藝術家、科學家達·芬奇發(fā)明了許多機械，也使用了齒輪。但這個時期的齒輪齒與齒之間不能很好地嚙合。這樣，只能加大齒與齒之間的空隙，而這種過大的間隙必然會產(chǎn)生松馳的現(xiàn)象。后來，為了使齒輪嚙合適得更精確，希望通過計算方法得到齒輪的形狀。因而，數(shù)學家們也參加了齒輪研究工作。1674年，丹麥天文學家雷米爾發(fā)表了關于制造齒輪的基準曲線（擺線）的論述。1766年，法國的數(shù)學家卡諾又發(fā)表了更詳細的論述。當前，在機械傳動中有很多精密儀器的齒輪采用擺線作為外形線，采用擺線作為外形線的齒輪磨損少，傳動平穩(wěn)，具有省力、耐用和噪音小的特點。例如機械手表中的齒輪就采用擺線齒。此外，目前擺線在工業(yè)中廣泛應用還有擺線針輪行星減速器、擺線液壓馬達等。