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二維Fourier變換的應用 前面已經(jīng)提到了Fourier變換有兩個好處，即：可以獲得信號的頻域特性；可以將卷積運算轉(zhuǎn)換為乘積運算。 因此二維Fourier變換的應用也是根據(jù)這兩個特點來進行的。 在圖像濾波中的應用 首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。 在圖像壓縮中的應用 變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點上的幅值。在小波變換沒有提出時，用來進行壓縮編碼。 考慮到高頻反映細節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。 在卷積運算中的應用 從前面的圖像處理算法中知道，如果抽象來看，其實都可以認為是圖像信息經(jīng)過了濾波器的濾波（如：平滑濾波、銳化濾波等 ）。 如果濾波器的結(jié)構(gòu)比較復雜時，直接進行時域中的卷積運算是不可思議的。 Fourier變換可以卷積運算轉(zhuǎn)換為點乘運算，由此簡化運算，提高計算速度。
圖像的傅立葉變換，原始圖像由N行N列構(gòu)成，N必須是基2的，把這個N*N個包含圖像的點稱為實部，另外還需要N*N個點稱為虛部，因為FFT是基于復數(shù)的，如下圖所示：
 計算圖像傅立葉變換的過程很簡單：首先對每一行做一維FFT，然后對每一列做一維FFT。具體來說，先對第0行的N個點做FFT（實部有值，虛部為0），將FFT輸出的實部放回原來第0行的實部，F(xiàn)FT輸出的虛部放回第0行的虛部，這樣計算完全部行之后，圖像的實部和虛部包含的是中間數(shù)據(jù)，然后用相同的辦法進行列方向上的FFT變換，這樣N*N的圖像經(jīng)過FFT得到一個N*N的頻譜。 下面展示了一副圖像的二維FFT變換：  頻域中可以包含負值，圖像中灰色表示0，黑色表示負值，白色表示正值。可以看到4個角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其實4個角上的系數(shù)表示的是圖像的低頻組成部分，而中心則是圖像的高頻組成部分。除此以外，F(xiàn)FT的系數(shù)顯得雜亂無章，基本看不出什么。  將上述直角坐標轉(zhuǎn)換為極坐標的形式，稍微比較容易理解一點，幅度中4個角上白色的區(qū)域表示幅度較大，而相位中高頻和低頻基本看不出什么區(qū)別來。  上述以一種不同的方法展示了圖像頻譜，它將低頻部分平移到了頻譜的中心。這個其實很好理解，因為經(jīng)2D-FFT的信號是離散圖像，其2D-FFT的輸出就是周期信號，也就是將前面一張圖周期性平鋪，取了一張以低頻為中心的圖。將原點放在中心有很多好處，比如更加直觀更符合周期性的原理，但在這節(jié)中還是以未平移之前的圖來解釋。 行N/2和列N/2將頻域分成四塊。對實部和幅度來說，右上角和左下角成鏡像關(guān)系，左上角和右下角也是鏡像關(guān)系；對虛部和相位來說，也是類似的，只是符號要取反，這種對稱性和1維傅立葉變換是類似的，你可以往前看看。  為簡單起見，先考慮4*4的像素，右邊是其灰度值，對這些灰度值進行2維fft變換。  h和k的范圍在-N/2到N/2-1之間。 通常I(n,m)是實數(shù)，F(xiàn)(0,0)總是實數(shù)，并且F(h,k)具有對偶性。 如果寫成指數(shù)形式，即:  -------------------------------- 圖像傅立葉變換的物理意義  如果只保留靠近中心的幅度，則圖像的細節(jié)丟失，但是不同區(qū)域還是有著不同灰度。  如果保留的是遠離中心的幅度，則圖像的細節(jié)可以看得出，但是不同區(qū)域的灰度都一樣了。  考慮一個黑色矩形的傅立葉變換，這個黑色矩形的背景為白色。  如果對頻域中垂直方向高頻分量進行截斷，則圖像中黑白將不那么分明了，表現(xiàn)為振蕩。 可以得出結(jié)論： 傅立葉變換系數(shù)靠近中心的描述的是圖像中慢變化的特性，或者說灰度變換比較緩慢的特性（頻率比較慢的部分）； 傅立葉變換系數(shù)遠離中心的描述的是圖像中快變化的特性，或者說灰度變換比較劇烈的特性（頻率比較快的部分）。 -------------------------------- 傅立葉變換相位所含的信息 有兩幅圖像，如果用第一幅圖像傅立葉變換的幅度和第二幅圖像傅立葉變換的相位做反變換得到的圖像是什么樣子的？如果反過來，將第一幅圖像的相位和第二幅圖像的幅度做反變換得到的圖像又是什么樣子的？ 這里再用1維傅立葉變換解釋一下： 在1維傅立葉變換中，可以看到相位包含了邊沿何時出現(xiàn)的信息！在圖像的傅立葉變換中也一樣，相位決定了圖像的邊沿，所以決定了圖像中你看到物體的樣子！ 關(guān)于相位所含的信息，你可以這樣理解： 邊沿的形成是當很多正弦波上升沿都發(fā)生在同一時刻，也就是這些正弦波的相位是相同的時刻，所以相位所含的信息決定了邊沿所發(fā)生的位置，而正是邊沿決定了圖像的樣子。 這個就是圖像信號和聲音信號的一個區(qū)別，聲音信號的信息多數(shù)都包含在其傅立葉變換的幅度中，即不同頻率幅度的大小，就是說你聽到什么聲音取決于你聽到什么樣的頻率的信號，而對于這些信號時什么時候發(fā)生的并不十分重要。 |
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