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（四）若干注記
長度的意義說了這么多，到此差不多就可以告一段落了。但是關于在前面的討論中出現的許多數學概念和思想，卻還不妨多說幾句。事實上，測度論雖然只是數學中一個具體的分支，但是它的發(fā)展和演進卻和數學史上最有趣的篇章之一——所謂的“第三次數學危機”——聯系在一起。關于這樁公案，坊間的科普書目已經汗牛充棟，我也并不想在這里再重復一遍那些隨手就可以找得到的八卦，而只是想針對某些特別的概念和理論略加說明，至少，這對愿意繼續(xù)閱讀別的數學或者數學科普著作的朋友來說，會有點作用吧。 這個概念無疑常常困擾沒有受過現代數學訓練的閱讀者們，這是很自然的事情，因為它可以從直覺上意識得到，卻又難于精確地把握：無窮小是什么？是不是可以精確定義的數學概念？它是一個數？還是一段長度？能不能對無窮小做計算？諸如此類等等。由于這個概念幾乎天然的和各種哲學式的思辨聯系在一起，使得甚至哲學家們也對它頗為關注，——當然，還有數之不盡的民科們。 關于無窮小的討論者，最著名的大概莫過于萊布尼茨，他花了大把的精力試圖精確闡述無窮小的概念并且以此作為整個微積分學的基石。在萊布尼茨看來，無窮小是一個比任何數都小但是不等于零的量，對它可以做四則運算，尤為關鍵的是可以做除法：兩個相關的無窮小量的比值就是一個函數的導數。以此為基本語言他開始建立微積分學的基本理論，——他基本上成功了。直至今天，數學家采用的關于微分的記號仍然來自萊布尼茨，而數學學科內部關于微積分學的專門稱呼——“ 分析學”——也來自于萊布尼茨自己對他的理論的叫法：無窮小分析。盡管牛頓和萊布尼茨在微積分的發(fā)明權上爭得不可開交，可是幾個世紀過去，至少在這兩件事情上萊布尼茨大獲全勝。 可是，也許你想不到的一件吊詭的事情是：盡管萊布尼茨在微積分學的建立過程里做出如此重要的貢獻，他的思想的基石——無窮小量——卻是一個在今天的數學語言里被完全拋棄了的概念。人們發(fā)現這個詞匯除了帶來混亂之外并沒有什么特別的用處，于是作為一種語言，它被丟棄了。 事實上，即使在萊布尼茨的同時期人看來，無窮小也是一個有點讓人不舒服的詞：比任何大于零的數都小，卻不是零。我們當然可以把它僅僅作為一種人為的邏輯概念來使用，可是這樣一個怪東西的存在，既使得數學的基本對象——實數的結構變得混亂，也在很多場合帶來了麻煩的難于回答的問題（盡管它也確實帶來了不少方便）。在分析學蓬勃發(fā)展的十八世紀，一代又一代數學大師為此爭論不休，大家混亂而各行其是地使用這個詞，卻沒人能說清楚它的精確含義。終于，從十九世紀初期開始，以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的一大批數學家開始為分析學的嚴密化做出了大量的工作，他們試圖在完全不采用“無窮小量”這個概念的前提下重新建立整個分析學，——他們也成功了。 于是這個詞就被拋棄了。時至今日，這個詞盡管在很多數學書里仍然會出現，但是這時它僅僅作為一個純粹修辭上的詞匯而不是嚴格的數學概念，——人們通常用它來指代“極限為零的變量”（感謝十九世紀那一大批數學家，極限這個詞已經是有了嚴密清晰的定義而不再僅僅是某種哲學性的描述），也有的時候它被用來作為對微積分運算中的某些符號的稱呼，但是無論何時，人們在使用它的時候都明確的知道自己想說什么，更關鍵的是，人們知道自己并不需要它，而只是偶爾像借助一個比喻一樣借助它罷了。 那么，回到這個詞最本源的意義：到底有沒有這樣一個量，比一切給定的正實數都小卻又不是零？或者這個問題還有一系列等價的提法：在直線上存不存在兩個“相鄰”的點？存不存在“長度”的最小構成單位？等等等等。 在今天我們已經能夠確定無疑的回答這些問題了：不，不存在。 事實上，這個問題的徹底解答甚至比柯西和魏爾斯特拉斯的時代還要晚：它本質上是關于實數的結構的理解的問題。即使柯西本人——盡管他奠定了現代極限理論的基礎——也并不真正了解“實數是什么”這樣一個簡單的問題。關于嚴密的實數理論的最終建立，一般認為是皮亞諾（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）這幾位十九世紀下半葉的數學家的成就。所謂的“戴德金分劃”仍然是今天的教科書里對“實數”這一概念所介紹的標準模型。在這套模型里，人們能夠在邏輯上完全自洽的前提下回答有關實數結構的一切問題，而正如前面指出過的那樣，它完全擯棄了“無窮小”的存在。 （是不是數學家說無窮小量不存在，這個詞就沒意義了呢？） 這又回到了前面我們屢次面對的那個關于數學斷言的權威性的問題。如果承認無窮小是一個有關數的概念，那么，數學家的工作已經告訴我們，在實數理論中沒有無窮小的位置。事實上，康托本人就曾經證明過承認無窮小是同承認實數中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一個關于實數性質的基本原理，如果阿基米德原理是錯的，整個數學大概都無法得以建立。）但是，如果把問題拉到數學的疆域以外，如果認為人們有權利不按照數學家的方式討論數本身的性質，那么我們面對的就已經是全然另一層次的問題，——也就不可能在這里得到詳盡的討論了。 2. 無窮大。 有趣的是，和無窮小如此相似的一個詞——無窮大——卻在今天的數學語言中占有與之判若云泥的一個地位：人們談論它，研究它，還給它以專門的記號（倒 8字）。造成這一多少有點奇特的事實的關鍵在于，和通常人們的誤解不同，無窮大其實并不是無窮小這個詞在概念上的對偶（盡管乍一看似乎如此）。事實上，就某種意義而言，說它是零這個詞的對偶也許更為恰當一些。 讓我們回顧一下這個概念在數學中的遞進過程：我們都知道存在這樣的數列（例如自然數列），可以一直變得越來越大，直到比任何給定的數都更大，這種時候，我們把這樣的數列稱為“趨于無窮大”或者直接就簡稱它是無窮大?！堊⒁?，在這里無窮大僅僅是作為人們對一個數列或者變量的極限的叫法而存在的，我們并沒有承認它是一個數或者一個確定的對象，而只是一個形容詞而已。每個具體的數都不可能真的比別的數都大，盡管一系列數可以沒有止境地變得越來越大，這實質上就是亞里士多德所強調的“潛無窮”。 如果事情只是到此為止，那一切相安無事，無窮大這個詞今天的地位也只不過和無窮小一樣僅僅作為對一種極限的描述而存在罷了?？墒沁@里有某種微妙的差別：正如前面提到過的那樣，“無窮小”不是別的，只是一個變量極限為零而已，所以我們總可以認為無窮小只是一種說法，在必要的時候可以用“趨于零”這樣一個替代說法來換掉它?？墒?#8220;無窮大”是什么極限呢？它并不是趨于任何特定數字的極限，而是“趨于無窮大的極限”，你看，這個詞輕易回避不掉。 于是人們只好被迫不斷的提及它，要是非要替換成別的說法，就要花好多倍唇舌才成。比如，前面說過直線本身也是直線的可測子集，那么整條直線的測度是多少？當然我們可以佶屈贅牙地說“直線可測，但是它的測度并不是一個確定的數，而只是比任何給定的實數都要大。”——這也太麻煩了一點。為什么不省點事直接說“直線的測度等于無窮大”呢？ 這樣人們就開始不斷的把無窮大當一個名詞來使用，假裝它好像也是一個數一樣，這就是所謂的“實無窮”。哲學家和數學家中比較喜歡哲學爭辯的那一部分人對此有許多爭論（直覺主義學派等等），但是讓我們忽略掉它們，先看看在今天數學家是怎么使用這個詞的吧。 首先，無窮大不是一個實數，在實數集中不存在任何數比其他所有數更大，這是確定無疑的事情。 其次，在許多場合下，我們確實可以把無窮大當作一個名詞來使用，既方便又不造成困擾。例如前面提及的在測度論里我們說一個可測集的測度是一個“數 ”，這里的“數”既包括非負實數也包括無窮大。事實上，在有些數學書里索性把實數加上無窮大這樣一個集合稱為“增廣實數集”。我們甚至可以對無窮大定義運算（在事先做好嚴格約定的前提下），這對于很多理論的敘述帶來了極大的方便。如果說得更技術化一點，在很多數學分支（例如仿射幾何）里我們還能像讓每個實數對應于直線上的一個點這樣一個幾何對象一樣，讓無窮大這樣一個特殊的對象也對應于一個特殊的幾何對象（所謂的“無窮遠點”），并且讓所有這些幾何對象平等地參與到幾何學中來。只要仔細做好事先的公理準備，這樣子做并不會引起任何邏輯問題。 ——也許有人會覺得奇怪，怎么數學家可以如此隨便，想給實數集添上什么就添上什么？事實上，數學家就是有這樣的權利，因為說到底，數學不是研究真實自然界的學問，而只是研究人造概念的學問。任何人造概念，只要在邏輯上被嚴格的描述出來又不造成內在的邏輯不自洽，都可以被認為是“存在”的。復數的引進就是一個很好的例子。 ——那前面怎么又說“無窮小不存在”？就算無窮小本身不能是一個實數，為什么不能把它添在實數集之外也弄一個“增廣實數集”出來研究？ 事實上，這樣做是可以的，而且事實上也確實有好事者這樣做過。問題在于它毫無意義。前面說了，任何人都有權利自己定義出一些什么東西來作為數學對象來研究，這是對的，只要他在邏輯上足夠細心就行。可是這句話還有一個常常被人忽視的反面：數學盡管不是直接研究自然界的學問，可是它畢竟是在人們研究自然界的過程中形成而又有助于人們對自然界的理解的。如果一個數學概念純粹只是自說自話的產物，那無論它多么自洽，也沒有人會去關心它。復數這一人為的構造之所以被所有人承認是因為它巨大的威力。而無窮小——正如前面所指出的——是一個毫無必要引入的概念，添上它只會自找麻煩。無窮小和無窮大的命運之所以不同，關鍵正在于此。 回到無窮大這個詞上來。這一系列文章的一開頭還說過無窮大可以分成“可數”和“不可數”的無窮大，那又是怎么回事？ 這是一個更常見的誤解，這其實是兩個不同的詞：作為一個極限的（潛）無窮和由此引申而來的作為一個數學對象的（實）無窮是一碼事，作為一個集合的勢的可數無窮或者不可數無窮是另一碼事，不同于前者的“無窮大”，后者其實應該被稱為“無窮多”才對，只是人們通?；鞛橐徽?。事實上，當我們說“一個集合有無窮多個元素”的時候，我們有必要指出這個集合是不是可數，而當我們說“一條直線的測度是無窮大”的時候，卻完全談不上什么可數不可數?！跀祵W書中通過觀察上下文，分辨這兩者并不是很難的事情，可是如果把“無窮”作為一個哲學命題來研究的時候，這種區(qū)分卻是必須的?！恍业氖牵臀议喿x所及，很多時候人們都沒做到這一點。 3. 不可測集與選擇公理、數學的嚴密性 回顧一下“不可測集”這個詞的意思：在勒貝格測度的意義下，總有一些集合是沒辦法定義測度的，這樣的集合稱為不可測集。同時已經被我們反復指出過的一點是：一個沒受過專門數學訓練的人所能想象到的任何古怪集合其實都是可測的，不可測集非常罕見。 不可測集的存在是數學中中一件令人遺憾的事實，要是能給直線的任何一個子集定義長度，這樣的理論該有多么漂亮啊……數學中常常有這樣的情形，一個人們通過直覺認定的美妙設想，偏偏被一兩個好事者精心構造出的反例破壞了，但是數學畢竟受制于邏輯，不管一個反例多么煞風景，只要它確實成立，數學家也只好接受它。 可是不可測集這個例子有點不同：構造不可測集，用到了選擇公理。 這件事情說來話長，簡單的說，我們都知道整個數學是建立在一些很顯然也很直觀的公理之上的，這些公理大多數都是諸如等量之和為等量之類的廢話，可是選擇公理稍微復雜一點，它是說： 任何給定一組非空集合，我們總能從其中的每一個集合里取出一個元素組成一個集合。 也像廢話一樣，是吧，可是這句話多少有點羅嗦，不像等量之和為等量一樣簡單明了。于是人們對它多少有所爭議，有人認為它不應當排在基本公理之內?？墒钱吘惯@句話也挑不出什么錯，而且人們很快發(fā)現，很多很有用的數學結果離開選擇公理就變得很難證明或者根本不可能證明，于是將就著也就承認它了。 可是不可測集的存在卻又掀起了人們的疑慮，反對選擇公理的人說，看看吧，要是沒有選擇公理，也就沒有不可測集了。 贊成的人反駁說，不可測就不可測唄，有什么大不了的……雖然整個理論確實變得不那么完美了?！麄儾恢栏蟮膯栴}還在后面。1924年，波蘭數學家巴拿赫（Banach）在選擇公理和不可測集構造法的基礎上，證明了石破天驚的“分球定理”：一個半徑為1的實心球，可以剖分成有限的若干塊，用這些塊可以完整地重新拼出兩個半徑為1的實心球體！ 這一下引起軒然大波，反對選擇公理的數學家們聲勢大振，認為選擇公理完全是trouble maker，必欲除之而后快。贊成選擇公理的數學家們則指出選擇公理“功大于過”，畢竟有很多有價值的數學成果出自選擇公理的基礎。雙方僵持的結果是大家各行其是，大多數數學家承認選擇公理，同時忍受巴拿赫分球定理所帶來的不適感，少數數學家堅持不要選擇公理，為此失去很多別的很有用的定理也在所不惜。 這一僵持局面維持了很多年，直到二十世紀的中葉才被戲劇性地解決。人們在不承認選擇公理的假設下構造出了一大堆比巴拿赫的球體更嚴重的反例（例如一個空間同時有兩個維數）。這些反例不只像巴拿赫的例子一樣違反直覺，而且還嚴重的破壞了大多數已有的數學結果。于是人們發(fā)現，承認選擇公理也許是必須的，而像巴拿赫的反例那樣的反直覺的結果，也只能被迫承擔下來了。 所以到今天幾乎所有的數學研究都是在承認選擇公理的基礎上進行的。雖然作為一種后遺癥，人們總是會時不時地謹慎的在使用選擇公理的時候加上一句聲明：“本文依賴選擇公理。”——這也許是這條公理的一個特殊待遇了。 以上便是這段公案的來龍去脈。很多人可能在讀完這段故事之后疑慮重重。什么啊？數學家們難道是這么隨便的確定公理體系的么？如此的實用主義，似乎全然置真理的地位于不顧的樣子。很多人可能還會想起歐幾里德第五公設的故事，覺得數學家們原來如此不負責任，帶給人們的不是一套嚴整規(guī)范的理論體系，而是一個支離破碎的混亂圖景。連公理的問題都搞不定，整個數學豈不是空中樓閣？ 限于篇幅，這篇文章不可能對這個問題予以展開論述，可是至少我們可以澄清一個常見的似是而非的誤解：數學是嚴密性的科學，數學的發(fā)展也只有在嚴密的公理化基礎上才能得以實現。 這句話——至少在字面上——是對的。不可測集的例子本身就說明，為了嚴密性，數學家們甚至不惜放棄直觀，——像巴拿赫球那樣的例子盡管如此怪誕，可是它是嚴密邏輯的產物，數學家也只好承認它的存在。 可是在更宏觀的層面上，這句話卻是錯的。前面提到的分析學就是很好的例子：微積分的思想的提出是在十七世紀，在隨后的十八世紀里取得了豐碩的成果，可是它的嚴密化卻直到十九世紀下半葉才真正得以實現。測度論是另一個例子：“測度”是人們對于長度這個詞的直觀理解的嚴密化，可是這并不是說，在測度論被提出之前的漫長歲月里人們對于長度都一無所知，恰恰相反，人們已經知道了相當多的事情，只是等待測度論的語言讓一切都變得精確和完整而已。 所以數學的發(fā)展實質上是一個拖泥帶水的過程，一代又一代嶄新、充滿活力卻又粗糙的思想被提出來，人們意識到它的重要性，予以發(fā)揚光大，產生一系列重要的成果同時又帶來困惑，直到嶄新的數學語言誕生，清理戰(zhàn)場，讓一切顯得井井有條，像教科書上的文字一樣道貌岸然，而同時卻又有新的粗糙的思想誕生了…… 在這個過程里，嚴密性始終只是一個背景，盡管無處不在，可是并不占據舞臺的統(tǒng)治地位。數學家們在意嚴密性，追逐嚴密性，甚至不惜為了嚴密性而犧牲看似有價值的學術成果，可是嚴密性并不是數學發(fā)展的引領旗幟，從來都不是。 這就是為什么同很多人的誤解相反，大多數數學家其實并不關心那些關于數學基礎的哲學性的爭論，這也就是為什么我把眼前這些討論放進附記的原因——一件事情是不是關系到數學的邏輯基礎和這件事情在數學上是不是重要一點關系都沒有。所有這些故事：可數與不可數、可測與不可測、選擇公理等等，都是和二十世紀初所謂“第三次數學危機”的大背景聯系在一起的，那段時間里數學家之間產生了無數紛爭，可是今天的數學學生們在嚴肅認真地學習集合論和測度論的同時，卻只對那些八卦付之一笑，作為茶余飯后的談資?！聦嵣?，即使在二十世紀初，也有大量的數學家根本不關注這件事情或者壓根就采取了日后看來是錯誤的立場（反對康托，反對不可數集的概念，等等）卻同時又在自己的領域里作出了重要的甚至是歷史性的貢獻。 關于那個所謂的“第三次數學危機”，有一本著名的科普著作《數學：確定性的喪失》[2]專門討論了它。這本書內容相當詳盡，不幸的是它所引起的誤解和它闡明的事情一樣多。關于這次“危機”的描述主要集中在第十二章，那一章的結尾倒是相當深刻，值得特別引用在此： “一個寓言恰如其分地概括了本世紀有關數學基礎的進展狀況。在萊茵河畔，一座美麗的城堡已經矗立了許多個世紀。在城堡的地下室中生活著一群蜘蛛，突然一陣大風吹散了它們辛辛苦苦編織的一張繁復的蛛網，于是它們慌亂地加以修補，因為它們認為，正是蛛網支撐著整個城堡。” （完） 參考文獻[1]：實變函數論 周民強著 北京大學出版社 |
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