小學(xué)數(shù)學(xué)公式及數(shù)量關(guān)系

2010年02月25日

　　小學(xué)數(shù)學(xué)公式及數(shù)量關(guān)系式

　　

　　一．用字母表示運算定律或性質(zhì)

　　加法交換律：a+b＝b+a

　　加法結(jié)合律：（a+b）+c＝a+（b+c）

　　乘法交換律：ab=ba

　　乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）

　　乘法分配律：a（b+c）＝ab+ac

　　二．幾何圖形計算公式

　　1．教材編排：在小學(xué)階段圖形教學(xué)的重心是六形與四體，六形，即長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形、圓形，四體，即長方體、正方體、圓柱、圓錐。從縱向看，教材是按平面圖形→立體圖形的順序進(jìn)行安排，從橫向看，無論是平面圖形，還是立體圖形，都可以歸結(jié)為圖形特征的認(rèn)識――圖形周長、面積、體積計算幾方面的內(nèi)容。

　　2．具體分布： 年段 單元 主要內(nèi)容 一年上 四、認(rèn)識物體和圖形 直觀認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形與長方形、正方形、三角形和圓等平面圖形，能夠辨認(rèn)和區(qū)別這些圖形。 一年級下 三、圖形的拼組 體會所學(xué)平面圖形的特征，并能用自己的語言描述長方形、正方形邊的特征 二年級上 三、角的初步認(rèn)識 初步認(rèn)識角，知道角的各部分名稱，初步學(xué)會用尺畫角。 二年級下 三、圖形與變換 會辨認(rèn)直角、銳角、鈍角，初步感知平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。 三年級上 三、四邊形 認(rèn)識四邊形的特征，進(jìn)一步掌握長方形和正方形的特征，知道周長的含義，探索并掌握長方形、正方形的周長計算公式。 三年級下 六、面積 認(rèn)識面積的含義，掌握長方形、正方形的面積公式 四年級上 四、平行四邊形和梯形 理解垂直與平行的概念，掌握平行四邊形和梯形的特征 四年級下 五、三角形 認(rèn)識三角形的特性，知道三角形任意兩邊之和大于第三邊以及三角形的內(nèi)角和是180° 五年級上 五、多邊形的面積 掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式。，認(rèn)識簡單的組合圖形，會把組合圖形分解成已學(xué)過的平面圖形并計算出它的面積。 五年級下 三、長方體和正方體 認(rèn)識長方體和正方體的特征以及它們的展開圖，了解體積（包括容積）的意義，掌握長方體和正方體的體積和表面積的計算方法。 六年級上 四、圓 掌握圓的基本特征、圓的周長與面積的計算公式。 六年級下 二、圓柱和圓錐 掌握圓柱和圓錐的基本特征及圓柱的側(cè)面積、表面積的計算方法，以及圓柱、圓錐體積的計算公式。 2．公式列舉及相互聯(lián)系

　　（1）周長：即圍繞物體一周的長度。

　?、匍L方形周長=（長+寬）×2 C=(a+b)×2

　?、谡叫沃荛L=邊長×4 C=4a

　?、蹐A的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 c=πd =2πr

　　【相互聯(lián)系】關(guān)于周長教材并沒有下嚴(yán)格意義上的定義，只要學(xué)生能結(jié)合具體的物體或圖形說明周長的含義即可，教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，對計算的方法有一個獨立思考、不斷感悟和比較的過程，避免死套公式的現(xiàn)象。

　?。?）面積：即物體的表面或封閉圖形的大小

　?、匍L方形的面積=長×寬 S=ab

　?、谡叫蔚拿娣e=邊長×邊長 S=a?a=a2

　?、燮叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高 S=ah

　?、苋切蔚拿娣e=底×高÷2 S=ah÷2

　?、萏菪蔚拿娣e=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2

　?、拗睆?半徑×2 d=2r 半徑=直徑÷2 r= d÷2

　　⑦圓的面積=圓周率×半徑×半徑 S=πr2

　　【相互聯(lián)系】 平面圖形的面積公式是以長方形面積計算公式為基礎(chǔ)的，正方形可以看作是長和寬相等的長方形，平行四邊形可以通過割補、平移轉(zhuǎn)化成長方形，三角形和梯形有多種方式可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形求出面積，圓也可以通過割補轉(zhuǎn)化成長方形。掌握這些公式的推導(dǎo)過程，不僅能夠促進(jìn)理解，而且還能加強記憶，減少計算中的錯誤。因此，要注意引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地感悟知識的形成過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

　　（3）表面積：立體圖形的所有面的面積之和叫做它的表面積

　?、匍L方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

　?、谡襟w的表面積=棱長×棱長×6 S=a×a×6=6a2

　　③圓柱體的表面積=側(cè)面積+底面積×2

　?、軋A柱體的側(cè)面積=底面周長×高

　　【相互聯(lián)系】通過觀察立體圖形的展開圖，可以幫助學(xué)生理解計算公式。

　　（4）體積：物體所占空間的大小叫體積

　?、匍L方體的體積=長×寬×高 V=abh

　?、谡襟w的體積=棱長×棱長×棱長 V=a×a×a=a3

　?、蹐A柱的體積=底面積×高 v=sh

　?、軋A錐的體積=底面積×高÷3 v=sh÷3= Sh

　?、萸虻捏w積:V = πr3 （僅作了解）

　　【相互聯(lián)系】長方體、正方體和圓柱可統(tǒng)稱為柱體，它們的體積公式可以統(tǒng)一成：V=sh即底面積×高，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一聯(lián)系，可以加深學(xué)生對知識內(nèi)在聯(lián)系的理解，提高解決問題能力。

　　三．?dāng)?shù)量關(guān)系式

　?。ㄒ唬┏Ｓ脭?shù)量關(guān)系 序號 常用數(shù)量關(guān)系式 相關(guān)教學(xué)內(nèi)容 所在年段 1 每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 乘法意義 二年級上 2 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù) 總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù) 除法意義 二年級下 3 單價×數(shù)量＝總價 總價÷單價＝數(shù)量 總價÷數(shù)量＝單價 解決問題 三年級后 4 速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度 解決問題 三年級后 5． 工作效率×工作時間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時間 工作總量÷工作時間＝工作效率 解決問題 三年級后 6． 6、 加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個加數(shù)＝另一個加數(shù)

　　7、 被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù)

　　8、 因數(shù)×因數(shù)＝積 積÷一個因數(shù)＝另一個因數(shù)

　　9、 被除數(shù)÷除數(shù)＝商 被除數(shù)÷商＝除數(shù) 商×除數(shù)＝被除數(shù) 四則運算的意義 相關(guān)年段 7 被除數(shù)＝除數(shù)×商+余數(shù) 有余數(shù)除法 三年級上 8． 平均數(shù)=總數(shù)÷總份數(shù) 平均數(shù) 四年級下 （二）特殊數(shù)量關(guān)系（思考題、拔高題、數(shù)學(xué)廣角）

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　　1．

　　（1）和差問題：(和＋差)÷2＝大數(shù) (和－差)÷2＝小數(shù)

　?。?）和倍問題：和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或：和－小數(shù)＝大數(shù))

　?。?）差倍問題：差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或 小數(shù)＋差＝大數(shù))

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　　2．植樹問題:

　　非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:

　?。?）兩端都植樹:株數(shù)＝段數(shù)＋1＝全長÷株距+1

　　全長＝株距×(株數(shù)－1)

　　株距＝全長÷(株數(shù)－1)

　?。?）一端植樹,另一端不植樹：株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距

　　全長＝株距×株數(shù)

　　株距＝全長÷株數(shù)

　?、莾啥硕疾恢矘?那么:株數(shù)＝段數(shù)－1＝全長÷株距－1

　　全長＝株距×(株數(shù)＋1)

　　株距＝全長÷(株數(shù)＋1)

　　在封閉線路上的植樹時：株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距

　　全長＝株距×株數(shù)

　　株距＝全長÷株數(shù)

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　　3．盈虧問題

　　(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

　　(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

　　(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

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　　4．相遇問題

　　相遇路程＝速度和×相遇時間

　　相遇時間＝相遇路程÷速度和

　　速度和＝相遇路程÷相遇時間

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　　5．追及問題

　　追及距離＝速度差×追及時間

　　追及時間＝追及距離÷速度差

　　速度差＝追及距離÷追及時間

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　　6．流水問題

　　順流速度＝靜水速度＋水流速度

　　逆流速度＝靜水速度－水流速度

　　靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2

　　水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2

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　　7．濃度問題:

　　溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量

　　溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度

　　溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量

　　溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量

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　　8．利潤與折扣問題:

　　利潤＝售出價－成本

　　利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100%

　　漲跌金額＝本金×漲跌百分比

　　折扣＝實際售價÷原售價×100%(折扣＜1)

　　利息＝本金×利率×時間

　　稅后利息＝本金×利率×時間×(1－20%)