兩人合作，擺一擺，把記錄單填寫(xiě)完整。（注意一人擺，一人記）

學(xué)生操作，擺三角形，依次完成表格填寫(xiě)，交流反饋。

 師：觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：擺一個(gè)三角形要三根，接下來(lái)擺兩個(gè)三角形就是3＋2根。

生2：我發(fā)現(xiàn)每次擺了以后都是增加2根。

生3：都是單數(shù)。

生4：有幾個(gè)三角形就有幾個(gè)三根，然后再減去三角形的個(gè)數(shù)再減去一。

師：我們擺十個(gè)三角形用21 根火柴棒，大部分同學(xué)一邊擺一邊數(shù)，如果要擺100個(gè)、1000個(gè)這樣連接的三角形，你還愿意這樣一邊擺、一邊數(shù)嗎？那怎么辦？

生5：用擺的圖形減1，然后乘以2，再加3。

師：讓我們來(lái)驗(yàn)證他的解法。以擺10個(gè)這樣的連接三角形為例，用了多少根火柴棒？

生：3×10－9＝21根。（板書(shū)）

師：你為什么先3×10？

生：先假設(shè)擺10個(gè)獨(dú)立的三角形。（師演示課件）

師：一共需要去掉重復(fù)的9根火柴棒。公共邊的條數(shù)和三角形的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？還有不同的想法嗎？

生：3＋9×2＝21根。（板書(shū)），先算出擺一個(gè)三角形需要三根，接下來(lái)還要擺9個(gè)三角形，因?yàn)橛幸粭l公共邊，所以每個(gè)三角形只要2根。（師演示）

師：實(shí)際這種想法是先分類，把第一個(gè)三角形放邊上，第一個(gè)三角形和后面的9個(gè)三角形不一樣。分類思想在數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到。還有不同想法嗎？

生：2×10＋1。先把它想成每次都要加2根，然后擺10個(gè)就要擺10個(gè)2根，原來(lái)一個(gè)要3根，還要再加1根。

師：這種思想是找第一個(gè)三角形和后面9個(gè)三角形的共同點(diǎn)。剛才我們用不同的思路來(lái)研究解決這個(gè)問(wèn)題，得到的結(jié)果都是一樣的。所以，我們要學(xué)會(huì)從不同的角度來(lái)分析問(wèn)題。現(xiàn)在，假如要搭N個(gè)三角形要多少根小棒？你會(huì)用含有字母的式子表示火柴棒的根數(shù)嗎？

生1：N×2＋1

生2：3N－(N－1)

生3：3＋(N－1)×2

師：這三種方法求出的結(jié)果相等嗎？你愿意用哪一種方法來(lái)算？

師：聰明的小猴找來(lái)4根木棒，搭成一個(gè)正方形，把它固定在樹(shù)枝上，接著往下搭梯子，第二個(gè)正方形用了幾根木棒？第三個(gè)正方形呢？第四個(gè)呢？

課件演示，學(xué)生觀察。

師：像這樣用木棒搭連接的正方形是不是也像剛才擺連接的三角形一樣有規(guī)律呢？一個(gè)正方形用4根，兩個(gè)連接的正方形用幾根？（7根）三個(gè)用幾根？（10根）……擺10個(gè)這樣連接的正方形需要多少根？（31根）

師：31根，是怎么算的？需要?jiǎng)邮謹(jǐn)[小棒嗎？

生1：1＋3×10

生2：4＋9×3

生3：4×10－9

師：我們可以根據(jù)正方形的個(gè)數(shù)求出所用小棒的根數(shù)。照這樣搭N個(gè)正方形呢？

生：1＋3N

師：46根火柴棒夠搭幾個(gè)正方形？

生：15個(gè)正方形。先用46－4＝42根，42÷3＝14個(gè)，14再加1等于15個(gè)。

師：先把第一個(gè)4 根減掉，這是一種思路。還有其他不同的思路嗎？

生：46－1＝45根，45÷3＝15個(gè)。

師：剛才我們用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)擺小棒，用列表的方法來(lái)整理，探究了連接的三角形和正方形中的規(guī)律。像這樣連接圖形中的規(guī)律有什么聯(lián)系嗎？

生1：三角形和正方形中都是只有一條公共邊。

生2：“1＋2N”中的“1”就是連接三角形中的一條公共邊，“2”是表示第一個(gè)三角形之后每個(gè)三角形只需要兩條邊。

生3：“1＋3N”中的“1”就是連接正方形中的一條公共邊，“3”是表示第一個(gè)正方形之后每個(gè)正方形只需要三條邊。

師：大家的發(fā)現(xiàn)非常正確，同時(shí)把兩種連接圖形有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)分析研究，找到它們中間的內(nèi)在聯(lián)系，這是一種非常有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。連接的正五邊形、六邊形你會(huì)用含有字母的式子表示其中的規(guī)律嗎？

生：正五邊形邊的條數(shù)是1＋4N，正六邊形邊的條數(shù)是1＋5N。

師：也就是1+（正多邊形邊數(shù)-1）×N。

【賞析】：

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。該環(huán)節(jié)的教學(xué)，從“探究發(fā)現(xiàn)”到“數(shù)學(xué)建模”，有這樣幾個(gè)明顯的特點(diǎn)：

一、組織有效探索。課始，段老師用學(xué)生習(xí)以為常的火柴棒搭三角形來(lái)做實(shí)驗(yàn)，組織學(xué)生進(jìn)行有效探索，搭三角形的個(gè)數(shù)與用火柴棒的根數(shù)之間的聯(lián)系。在此學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師借助于操作，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際動(dòng)手操作搭三角形，到通過(guò)觀察小猴用木棒搭連接的正方形的過(guò)程，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度尋找規(guī)律。通過(guò)學(xué)生的實(shí)物展示和形象直觀的動(dòng)畫(huà)演示，從簡(jiǎn)單的一個(gè)三角形、一個(gè)正方形到10個(gè)、N個(gè)三角形、N個(gè)正方形，讓學(xué)生感悟連接圖形中的規(guī)律。

二、重視比較發(fā)現(xiàn)。操作是思維的基礎(chǔ)和源泉，是學(xué)生獲取新知的主要途徑之一。在小組合作學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師注意在操作的同時(shí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察。借助表格的填寫(xiě)，交流自己的比較發(fā)現(xiàn)。在引導(dǎo)學(xué)生探究擺10個(gè)三角形需要多少根火柴棒的過(guò)程中，學(xué)生摸索出了多種方法，教師能抓住關(guān)鍵，從一般的解法尋求用含有字母表示的方法，幫助學(xué)生理解真正的含義。在前后兩次探究活動(dòng)中，教師不僅進(jìn)行了同一種連接圖形不同解法的比較，還進(jìn)行了三角形與正方形連接圖形的方法的比較，在比較中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中驗(yàn)證規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。

三、提供方法支撐。新課程強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)思維活動(dòng)，而不是一個(gè)程序操練的過(guò)程。在上述環(huán)節(jié)中，教師一方面重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)，同時(shí)，提供了恰當(dāng)?shù)姆椒ㄖ?。從操作活?dòng)中表格的設(shè)計(jì)，分類思想的引導(dǎo)，從簡(jiǎn)單的三角形、正方形到研究復(fù)雜的用字母來(lái)表示圖形的個(gè)數(shù)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的基本方法和價(jià)值，體會(huì)列表整理解決問(wèn)題的策略。在操作中所獲得的形象和表象及時(shí)推動(dòng)著學(xué)生進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象、概括，從而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同連接圖形的聯(lián)系與綜合，不斷豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)，積累對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，深刻理解連接圖形的本質(zhì)規(guī)律。

-----該文已發(fā)表于《中國(guó)教師報(bào)》2010年3月17日

(教學(xué)實(shí)錄詳見(jiàn)http://duan710719.blog.163.com/blog/static/6442883120099158532284/)