用三角形奠定法構(gòu)造一類動(dòng)圓圓心的軌跡

加涅的教育心理學(xué)理論認(rèn)為，要導(dǎo)致有效的學(xué)習(xí)，要考慮注意學(xué)習(xí)者外部的刺激情境，外部事件能以各種形式影響學(xué)習(xí)者的內(nèi)部過程，有些外部事件對(duì)學(xué)習(xí)起支持作用。即應(yīng)充分考慮何種事件提供這種支持，引起將導(dǎo)致迅速和無(wú)障礙的學(xué)習(xí)的種種內(nèi)部過程。動(dòng)圓圓心的軌跡是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重點(diǎn)，但動(dòng)圓圓心的幾何構(gòu)造在實(shí)際教學(xué)中卻較難實(shí)現(xiàn)，影響著學(xué)習(xí)者的習(xí)得，本文談?wù)勗?#8220;幾何畫板”下用三角形奠定法加以構(gòu)造的方法。

一、過兩定點(diǎn)的動(dòng)圓圓心的軌跡

[構(gòu)造步驟]

第一步，構(gòu)造兩定點(diǎn)A、B，連結(jié)AB；

第二步，構(gòu)造輔助圓⊙A，在圓周上取一點(diǎn)C，構(gòu)造射線AC；

第三步，依次選中點(diǎn)C、A、B，單擊“變換→標(biāo)記角度”。雙擊點(diǎn)B，選中點(diǎn)A，單擊“變換→旋轉(zhuǎn)”，得點(diǎn)A'，構(gòu)造射線BA'，畫射線AC、BA'的交點(diǎn)O。畫以O為圓心，過點(diǎn)A的圓；

第四步，依次選中點(diǎn)C、O，單擊“構(gòu)造→軌跡”，即得過兩定點(diǎn)A、B的動(dòng)圓圓心O的軌跡l（如圖1）。

[構(gòu)造分析]

眾所周知，過兩定點(diǎn)A、B的動(dòng)圓圓心O的軌跡是線段AB的中垂線，而用尺規(guī)法畫AB的中垂線的關(guān)鍵在于等腰三角形ABO頂點(diǎn)O的確定。我們利用幾何畫板強(qiáng)大的作圖功能，通過作∠A=∠B，得到了等腰三角形ABO，從而確定了點(diǎn)O的位置。

二、與兩定圓相切的動(dòng)圓圓心的軌跡

 [構(gòu)造步驟]（以動(dòng)圓與兩外離定圓外切為例）

第一步，構(gòu)造線段AB、CD（AB>CD），及兩定點(diǎn)O₁、O₂（O₁、O₂>AB+CD）；

第二步，分別選中O₁和線段AB、O₂和線段CD構(gòu)造兩個(gè)圓；

第三步，在⊙O₂上畫點(diǎn)E，畫射線O₂E；依次選中O₂、E，單擊“變換→標(biāo)記向量”。選中點(diǎn)O₁，單擊“變換→平移”，得點(diǎn)E`，構(gòu)造射線O<sub>1</sub>E`，畫射線O₁E`與⊙O₁的交點(diǎn)F。

第四步，畫直線EF交⊙O₁于點(diǎn)G，畫射線O₁G交射線O₂E于點(diǎn)O；

第五步，依次選中點(diǎn)E、O，單擊“構(gòu)造→軌跡”，即得與兩定圓切于點(diǎn)E、G的動(dòng)圓圓心O的軌跡C（如圖2）。

[構(gòu)造分析]

由兩圓相切的相關(guān)知識(shí)我們知道，一是兩圓的連心線過切點(diǎn)，二是動(dòng)圓與兩定圓相切的切點(diǎn)到圓心的距離相等。在實(shí)際構(gòu)造時(shí)，利用平行線及圓的性質(zhì)，畫等腰三角形O₁FG，進(jìn)而得到OE=OF（其中E、F為切點(diǎn)，O為圓心），從而滿足了兩個(gè)條件。另外，第三步中通過“標(biāo)記向量”的方法構(gòu)造射線O₁E`的目的是為了保證射線O<sub>1</sub>E`與射線O₂E同向，若射線O₁E`與射線O<sub>2</sub>E反向，則射線O<sub>1</sub>G將與射線O<sub>2</sub>E的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，⊙O與⊙O<sub>2</sub>內(nèi)切于點(diǎn)E。因此，要順利構(gòu)造與兩定圓相切的動(dòng)圓圓心的軌跡，還得根據(jù)所給的條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇射線O<sub>1</sub>E`與射線O₂E的關(guān)系（同向或反向）。

[構(gòu)造應(yīng)用]

借助上述的構(gòu)造，使求與已知兩定圓相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程的的問題變得直觀、形象，這樣讓學(xué)生直觀地感知軌跡是圓錐曲線（或一部份），導(dǎo)致迅速解決問題的思維過程（為什么求、如何求焦距和實(shí)軸長(zhǎng)）的形成。

三、與一定直線、一定圓相切的動(dòng)圓圓心的軌跡

[構(gòu)造步驟]（以定直線與定圓外離、動(dòng)圓與定圓外切為例）

第一步，構(gòu)造直線j，及定圓O₁；

第二步，在直線j上畫點(diǎn)A，選中直線j、O₁、A，單擊“構(gòu)造→垂線”，得直線k、l。

第三步，畫直線l與⊙O₁的交點(diǎn)B（位于直線j和圓心O₁同側(cè)），畫直線AB交⊙O₁于點(diǎn)C，畫射線O₁C交直線k于點(diǎn)O；

第四步，依次選中點(diǎn)A、O，單擊“構(gòu)造→軌跡”，即得分別與定直線切于點(diǎn)A、與定圓切于點(diǎn)C的動(dòng)圓圓心O的軌跡C（如圖3）。

[構(gòu)造分析]

由線圓、圓圓相切的相關(guān)知識(shí)我們知道，一是過切點(diǎn)的直徑垂直于已知直線，二是兩圓的連心線過切點(diǎn)，三是動(dòng)圓與兩定圓相切的切點(diǎn)到圓心的距離相等。在實(shí)際構(gòu)造時(shí)，我們過點(diǎn)A，O₁作j的垂線，利用垂直線及圓的性質(zhì)，畫等腰三角形O₁BC，進(jìn)而得到OA=OC（其中A、C為切點(diǎn)，O為圓心），從而滿足了三個(gè)條件。另外，第三步中若交點(diǎn)B位于直線j和圓心O₁之間，則⊙O與⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)C。

四、過定點(diǎn)且與一定直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡

[構(gòu)造步驟]

第一步，構(gòu)造直線j，及定點(diǎn)A；

第二步，在直線j上畫點(diǎn)B，選中直線j、A、B，單擊“構(gòu)造→垂線”，得直線k、l。

第三步，畫線段AB，雙擊線段AB，選中直線l，單擊“變換→反射”，得直線l`，畫直線l`與k的交點(diǎn)O；

第四步，依次選中點(diǎn)B、O，單擊“構(gòu)造→軌跡”，即得過定點(diǎn)A且與定直線j切于B動(dòng)圓圓心O的軌跡C（如圖4）。

[構(gòu)造分析]

由線圓相切的相關(guān)知識(shí)我們知道，一是過切點(diǎn)的直徑垂直于已知直線，二是動(dòng)圓圓心到切點(diǎn)、定點(diǎn)距離相等。在實(shí)際構(gòu)造時(shí)，我們過j上的點(diǎn)B作j的垂線，從而滿足了第一個(gè)條件；利用畫垂線l關(guān)于線段AB的對(duì)稱直線l`，得到等腰三角形OAB（其中B為切點(diǎn)，O為圓心），從而滿足了第二個(gè)條件。

[構(gòu)造應(yīng)用]

借助上述的構(gòu)造，我們可以創(chuàng)設(shè)拋物線概念的實(shí)驗(yàn)情境。在這樣的情境中，不但使學(xué)生能迅速地認(rèn)識(shí)到拋物線是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，而且讓學(xué)生體會(huì)了參數(shù)即定點(diǎn)到定直線的距離決定了拋物線的開口，進(jìn)而為通徑的定義提供了實(shí)踐的依據(jù)。

總之，通過“幾何畫板”在課堂教學(xué)的恰當(dāng)使用，改進(jìn)了數(shù)學(xué)教材的呈現(xiàn)方式，優(yōu)化了學(xué)習(xí)者外部的刺激情境，有利于導(dǎo)致學(xué)習(xí)者有效的學(xué)習(xí)。