阿基米德對杠桿原理的妙用

天成98 2010-03-14

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阿基米德

古希臘物理學家和數(shù)學家，靜力學和流體動力學的奠基人。

公元前287年，阿基米德出生于西西里島的敘拉古（今天意大利的錫拉庫薩）。他的父親是天文學家和數(shù)學家。他11歲時被送到古希臘世界文化中心亞歷山大里亞城學習，期間對數(shù)學、天文和力學表現(xiàn)出了濃厚的興趣。他在學習天文學時，發(fā)明了用水力推動的星球儀，并用他模擬太陽、行星和月亮的運行及表演日食和月食現(xiàn)象。為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，他發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚水器。后人稱之為“阿基米德螺旋”。公元前240年，他回到敘拉古后，當了國王亥厄洛的顧問，幫助國王解決生產(chǎn)實踐、軍事技術和日常生活中的各種科學技術問題。傳說他晚年所發(fā)明的作戰(zhàn)機械把羅馬入侵者阻止于敘拉古城外長達數(shù)年。另一難以置信的傳說是，他曾讓許多人手執(zhí)凹面鏡會聚陽光，燒毀了羅馬軍隊的木制戰(zhàn)艦。公元前212年，敘拉古城失陷，正在聚精會神地研究科學問題的阿基米德，不幸被蠻橫的羅馬士兵殺害。

阿基米德的主要科學貢獻是：

1、系統(tǒng)總結并嚴格證明了杠桿原理，為靜力學奠定了基礎。在總結前人經(jīng)驗的基礎上，阿基米德系統(tǒng)地研究了物體的重心和杠桿原理，提出了精確地確定物體重心的方法，指出物體在重心處支撐起來，就能保持平衡。在《論平面圖形的平衡》一書中，進一步確定了各種平面圖形的重心，并對杠桿平衡條件做了嚴格的數(shù)學證明，得出重物的重量和它們離支點的距離成反比的杠桿定律。運用這個定律，阿基米德設計過杠桿滑輪系統(tǒng)，創(chuàng)造了用小力把大船拉到水里的奇跡。為了說明杠桿原理的威力，他曾說過，“假如給我一個支點，我就能推動地球”。

2、發(fā)現(xiàn)了浮力定律，從而奠定了流體靜力學的基礎。傳說亥厄洛王召見了阿基米德，讓他鑒定純金王冠是否摻假。他冥思苦想多日，也沒有想出好辦法。當他一天跨進澡盆洗澡時，看到了水面的上升和腳的減輕。他由此得到啟示，作出了關于浮體問題的重大發(fā)現(xiàn)，并通過王冠排出的水量解決了國王的疑問，在著名的《論浮體》一書中，他詳細闡述了這個發(fā)現(xiàn)，總結出了著名的阿基米德原理：放在液體中的物體受到的向上的浮力，其大小等于物體所排開的液體的重量，從而使人們對物體的沉浮有了科學的認識。

3、確定了各種幾何圖形的面積和物體的表面積、體積的計算方法，創(chuàng)立了“窮竭法”。他精通幾何學，先后發(fā)現(xiàn)了幾十條定理。他提出了計算圓的周長、面積及扇形面積的準確公式，用圓內(nèi)接多邊形和外切多邊形邊數(shù)增多來逼進圓的周長，并算出π的值在3又10/71到3又1/7之間。在《論拋物線的求積法》、《論球和圓柱》等著作中，阿基米德計算了拋物線弓形面積和球、橢球、旋轉拋物體等的表面積和體積，進一步發(fā)展了“窮竭法”，這是現(xiàn)代微積分方法的先導。

和他的前輩及同時代的一些學者相比，阿基米德的學術活動有一個顯著的特點，那就是既重視科學的嚴密性、準確性，要求對每一個問題都進行精確的、合乎邏輯的證明；又非常注意科學知識的實際應用，親自設計制造過多種機械裝置和建筑物，開創(chuàng)了理論研究和實際應用密切結合的學風。

近代數(shù)學史家倍爾（Eric Temple Bell,1883——1960年）曾說過："任何一張關于有史以來最偉大的數(shù)學家的名單中，必定會包括阿基米德。另外兩個通常是牛頓和高斯。不過，以他們的豐功偉績和所處的時代背景來對比，拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德。" A·艾鮑博士在《早期數(shù)學史選篇》中所說的：如果說歐幾里德《幾何原本》是前人工作的匯編的話，那么，阿基米德的每一篇論文都為數(shù)學知識寶庫作出了嶄新的貢獻。

阿基米德用杠桿原理研究拋物線旋轉體的體積

現(xiàn)在有一個拋物線 x=y2，繞著 x 軸旋轉，如下圖：

阿基米德推測這個拋物線旋轉體體積的方法如下。他用一個垂直于 x 軸的平面和這個旋轉體相交，每一個橫截面都是一個圓；他把這些圓的面積通通湊起來，就得到了旋轉體的體積。
再如下圖作 $PS /\!/ QR /\!/ x$ 軸，PS 繞著 x 軸旋轉可以得到一個圓柱體。

那么這個圓柱體的底部半徑是2，高是4。如圖取一個平面垂直于 x 軸，這個平面在這兩個旋轉體的橫截面都是圓。如果這個平面在 OU 線段之上變動。我們就得到所有可能的橫截面。
假設 T 是 OU 之上的任意點，我們的平面在 T 點和 x 軸相交，那么這個平面這時候在圓柱體的橫截面的半徑是 TW，在拋物線旋轉體的橫截面的半徑是 TV。因此

$\begin{displaymath} \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cha... ...t \char 9}}} = \frac{TW^2}{TV^2} = \frac{4}{y^2}=\frac{4}{x} \end{displaymath}$

如果把原點想象成杠桿的支點，x 軸想象成杠桿，把圓柱體橫截面留在原來的位置。把拋物線旋轉體的橫截面搬到支點左側距離 4 的位置，根據(jù)杠桿原理，可以得到一個平衡的狀態(tài)。如果對于每一個橫截面都這么做，那么杠桿左邊相當于一個質量 $\rho \cdot V_1$ 的鉛球（如下圖），V1 是拋物線旋轉體的體積，ρ 是密度。

杠桿右側則相當于在支點右側距離 2 的位置擺上一個質量 $\rho V_2$ 的小鉛球，其中 V2，是圓柱體的體積。那么，根據(jù)杠桿原理， $\rho V_1 \cdot 4 =\rho V_2 \cdot 2$ ，也就是說， $\begin{displaymath}\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \end{displaymath}$ 。拋物線旋轉體的體積是等底等高的圓柱體體積的一半。

阿基米德用杠桿原理得到球的體積公式

上述對球體面積和體積公式中，一個令人非常疑惑的問題是，阿基米德是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的公式的？因為并沒有任何直觀的證據(jù)可以表明這種公式的存在。球的面積是其大圓面積的4倍，為何是4，而不是4.01或其他？球的體積與其外接圓柱的體積之比為2：3，阿基米德是如何發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)值的？

其實，秘密在于阿基米德同時也是杠桿原理的發(fā)現(xiàn)者，而且這個原理在阿基米德的頭腦中有著神奇的用途。阿基米德是利用杠桿原理“稱”出了球體積公式。

用一根長為球直徑2倍的長桿，即為4r的桿，確定一個支點N。將桿的中點支于支點。兩端點設為S、T。NT的中點為O。以O為心，以球半徑r為半徑畫圓，并畫圓的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。這圖形繞ST旋轉得到球、圓柱和圓錐。