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最大子矩陣問題：
問題描述：(具體見http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050)
給定一個n*n(0<n<=100)的矩陣，請找到此矩陣的一個子矩陣，并且此子矩陣的各個元素的和最大，輸出這個最大的值。
Example：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩陣：
9 2
-4 1
-1 8
此子矩陣的值為9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
我們首先想到的方法就是窮舉一個矩陣的所有子矩陣，然而一個n*n的矩陣的子矩陣的個數(shù)當n比較大時時一個很大的數(shù)字 O(n^2*n^2)，顯然此方法不可行。
怎么使得問題的復雜度降低呢？對了，相信大家應該知道了，用動態(tài)規(guī)劃。對于此題，怎么使用動態(tài)規(guī)劃呢？
讓我們先來看另外的一個問題(最大子段和問題)：
給定一個長度為n的一維數(shù)組a，請找出此數(shù)組的一個子數(shù)組,使得此子數(shù)組的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩陣59+26-53+58+97=187為所求的最大子數(shù)組。
第一種方法－直接窮舉法:
maxsofar=0;
for i = 0 to n
{
for j = i to n
{
sum=0;
for k=i to j
sum+=a[k]
if (maxsofar>sum)
maxsofar=sum;
}
}
第二種方法－帶記憶的遞推法：
cumarr[0]=a[0]
for i=1 to n //首先生成一些部分和
{
cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];
}
maxsofar=0
for i=0 to n
{
for j=i to n //下面通過已有的和遞推
{
sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum
}
}
顯然第二種方法比第一種方法有所改進，時間復雜度為O(n*n)。
下面我們來分析一下最大子段和的子結構，令b[j]表示從a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的
當前值只有兩種情況，(1) 最大子段一直連續(xù)到a[j] (2)
以a[j]為起點的子段，不知有沒有讀者注意到還有一種情況，那就是最大字段沒有包含a[j]，如果沒有包含a[j]的話，那么在算b[j]之前的時候我
們已經算出來了，注意我們只是算到位置為j的地方，所以最大子斷在a[j]后面的情況我們可以暫時不考慮。
由此我們得出b[j]的狀態(tài)轉移方程為：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子斷和為max{b[j],0<=j<n}。進一步我們可以將b[]數(shù)組用一個變量代替。
得出的算法如下：
int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
這就是第三種方法－動態(tài)規(guī)劃。
現(xiàn)在回到我們的最初的最大子矩陣的問題,這個問題與上面所提到的最大子斷有什么聯(lián)系呢？
假設最大子矩陣的結果為從第r行到k行、從第i列到j列的子矩陣，如下所示(ari表示a[r][i],假設數(shù)組下標從1開始)：
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |
那么我們將從第r行到第k行的每一行中相同列的加起來，可以得到一個一維數(shù)組如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我們可以看出最后所求的就是此一維數(shù)組的最大子斷和問題，到此我們已經將問題轉化為上面的已經解決了的問題了。
此題的詳細解答如下(Java描述):
import java.util.Scanner;
public class PKU_1050
{
private int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
{
int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
int b[]=new int[101];
for(i=0;i<n;i++)
{
for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
{
b[k]=0;
}
for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,對每一次相加求出最大值
{
for(k=0;k<n;k++)
{
b[k]+=array[j][k];
}
max=maxSubArray(k,b);
if(max>sum)
{
sum=max;
}
}
}
return sum;
}
public static void main(String args[])
{
PKU_1050 p=new PKU_1050();
Scanner cin=new Scanner(System.in);
int n=0;
int[][] array=new int[101][101];
while(cin.hasNext())
{
n=cin.nextInt();
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
array[i][j]=cin.nextInt();
}
}
System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
}
}
}
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