|
關(guān)于[河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘（四）]的字幕:
今天講的是河圖洛書探秘之河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘（四）河圖洛書的數(shù)學(xué)奧秘前面介紹了，李光地《周易折中》一書當(dāng)中，卷二十一“啟蒙附論”所記述的4階幻方的構(gòu)成方法，李光地認(rèn)為利用洛書，“上下對(duì)易、左右相更”的
換位法，可以來構(gòu)成4階幻方。就是每邊為4的方陣。從1到16這16個(gè)數(shù)組成的方陣。李光地提出了兩種換位法，剛才我們看到第一種換位法。就是這16個(gè)數(shù)，自左而右，自上而下列之。“至左而右，自上而下列之。”就是這樣一種排列方法。
“自左而右，自上而下列之”，就是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16這么一個(gè)排列方法。按照這樣一種排列法，
然后就按照他所說的兩組換位法來進(jìn)行換位，就構(gòu)成了兩個(gè)4階幻方圖。現(xiàn)在我們看他所說的第二種排列法，第二種排列法，這個(gè)第二個(gè)排列法是什么呢？以十六數(shù)自右而左，自下而上列之以十六數(shù)自右而左，自下而上列之。李光地說“以十六數(shù)自右而左、自下而上列之”
這就正好和剛才所說的那個(gè)第一種排列法相反。那就是“自右而左自下而上”。從這個(gè)位置開始排，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16。
用這樣的這個(gè)排列法，排出之后，同樣的按剛才所說的那兩種換位法來交換，一種就是，就是這一種，
剛才說“居中與居四隅者不易，居四方者交易。”就換對(duì)稱者換位。另外一種方法就是“居四方者不易， 居四隅與居中者交易。”——清·李光地《周易折中》（圖1 李光地）這個(gè)“居四方者不易，居四隅與居中者交易，”就要求對(duì)稱換位，來構(gòu)成幻方圖。這就是他用這種排列法，同樣也是按照剛才所說的那樣兩種換位法來交換位置。
這樣也構(gòu)成兩種4階幻方圖。然后這樣構(gòu)成兩種4階幻方圖，構(gòu)成之后我們一比較實(shí)際上也就是原來那兩種圖，沒有新的。所以這個(gè)具體換的過程，這個(gè)就不再仔細(xì)地來羅嗦了。但是換的結(jié)果，
就是和剛才這兩個(gè)圖是一樣的。這實(shí)際上就是，4階幻方的基本圖形之一，基本圖形，就是1、4、13、16這四個(gè)數(shù)居于四角，不管它是怎么顛倒，居于四角。6、7、10、11這四個(gè)數(shù)居于中間，大概就這么一個(gè)分布。所以李光地
盡管介紹了兩種排列方法，和每一種排列方法所產(chǎn)生的一種4階幻方圖。我們仔細(xì)加以比較可以看出來，它實(shí)際上是同一個(gè)基本圖，同一個(gè)基本圖，李光地在介紹了這樣的方法之后，他有一段總結(jié)，
我認(rèn)為他這段總結(jié)是非常深刻地。李光地說，“自洛書以三三積數(shù)為數(shù)之原，而自四以下皆以為法焉，何則？”——清·李光地“自洛書以三三積數(shù)為數(shù)之原，而自四以下皆以為法焉，何則？”他的意思就是，
洛書是三三這樣組成的方陣，是數(shù)之源，它是最原始的，最本源的一種圖形。但是自四以下，四以后的這種各種方陣，都可以以為法焉。就可以取法與它，以它為依據(jù)。為什么呢？那就下面這一段話：“三者，天數(shù)也，故其象圓，如前圖，居四方與居四隅者或動(dòng)或靜，居中者一定不易，而各成縱橫皆十五之?dāng)?shù)矣。四者，地?cái)?shù)也，故其象方，如后圖，居中居四隅與居四方者或動(dòng)或靜，亦各成縱橫皆三十四之?dāng)?shù)矣。自五五以下皆以三三圖為根，自六六以下皆以四四圖為根，而四四圖又實(shí)以三三圖為根，故洛書為數(shù)之原，不易之論也。”—— 清·李光地“三者，天數(shù)也，故其象圓，如前圖，
居四方與居四隅者或動(dòng)或靜居中者一定不易，而各成縱橫皆十五之?dāng)?shù)矣。四者，地?cái)?shù)也，故其象方，如后圖，居中居四隅與居四方者或動(dòng)或靜，亦各成縱橫皆三十四之?dāng)?shù)矣。自五五以下皆以三三圖為根，
自六六以下皆以四四圖為根，而四四圖又實(shí)以三三圖為根，故洛書為數(shù)之原，不易之論也。”這就是李光地帶有總結(jié)性和結(jié)論性的一段話。他認(rèn)為三是最基本的一種圖，因?yàn)槿瞧鏀?shù)，是天數(shù)。
這個(gè)四，是偶數(shù)階幻方的最基本的圖，因?yàn)?階幻方不構(gòu)成幻方圖，邊為二的不構(gòu)成幻方圖，所以邊為四的是偶數(shù)幻方的最基本的圖形。所以他認(rèn)為以三為邊構(gòu)成的這個(gè)幻方就是三階幻方，就是洛書，是天數(shù)，以四構(gòu)成的這個(gè)最簡(jiǎn)單的幻方是地?cái)?shù)，
是幻方當(dāng)中最基本的兩種圖形。然后這個(gè)5階幻方，就是五五以下。都是以洛書圖為根。就是所有的奇數(shù)階幻方，是以洛書那種3階幻方為根。自六六以下就是所有的偶數(shù)階幻方，都是以四四圖為根，都是以4階幻方為根。
而這個(gè)4階幻方也是以三三圖，以3階幻方為根，也是以洛書為根。所以他認(rèn)為“故洛書為數(shù)之原，不易之論也。”李光地認(rèn)為說來說去，洛書是整個(gè)幻方構(gòu)成的最基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。所以我認(rèn)為這段論述，明確指出了
洛書在幻方中的本原地位，洛書是構(gòu)造各種復(fù)雜幻方的基礎(chǔ)即洛書是構(gòu)造各種復(fù)雜幻方的基礎(chǔ)。前圖——洛書所表示的3階幻方后圖——依據(jù)洛書換位法所構(gòu)成的4階幻方所謂“前圖”，指洛書所表示的3階幻方，所謂“后圖”，指依據(jù)洛書換位法所構(gòu)成的4階幻方。由此推斷，他認(rèn)為5階以上的各種奇數(shù)階幻方，
都是以3階幻方為根的，6階以上的各種偶數(shù)階幻方都是以4階幻方為根的，而4階幻方又是以3階幻方為根的。因此他得出洛書為數(shù)之原“洛書為數(shù)之原”的重要論斷。這一觀點(diǎn)，在幻方研究史上，已經(jīng)受到了高度的重視。
下面談第四個(gè)問題，河圖和8階幻方河圖和8階幻方。8階幻方的構(gòu)成比較復(fù)雜，當(dāng)代數(shù)學(xué)家已經(jīng)做出圓滿地回答，這里不多講，只介紹一種與河圖有關(guān)系的8階幻方?！兑捉?jīng)》中的八卦，互相配合成六十四卦，
這就是八八六十四。伏羲那個(gè)卦，在邵雍那個(gè)推演之后，就成了八八六十四卦，而且每一注卦都有名字?！兑捉?jīng)》的整個(gè)內(nèi)容，也就是這個(gè)八卦加以推演，八八六十四卦，所以《易經(jīng)》里面是六十四節(jié)。
這個(gè)卦數(shù)64是8的平方數(shù)，河圖洛書又都和八卦密切相連。因此八卦、河圖和8階幻方有密切的關(guān)系。前面說到南宋那個(gè)數(shù)學(xué)家楊輝，《續(xù)古摘奇算法》這本書當(dāng)中，他就制作了兩種8階幻方圖，他稱為“易數(shù)圖”。
他為啥把8階幻方圖稱為易數(shù)圖呢？實(shí)際上就是這個(gè)8階幻方他就跟那個(gè)八八六十四卦是關(guān)系非常密切的，所以稱為“易數(shù)圖”。他的意思就是這種8階幻方反映著《易經(jīng)》的數(shù)理。楊輝的這個(gè)“易數(shù)圖”有兩個(gè)，兩個(gè)。稱為“陰圖”和“陽圖”，
陰、陽兩式圖。我們這里只看一看，他這個(gè)圖什么樣子。楊輝這個(gè)構(gòu)圖過程這里就不細(xì)講了，因?yàn)楹臀覀円v的內(nèi)容關(guān)系不是很大。這個(gè)圖我們看作是一個(gè)8階幻方，這就是楊輝所構(gòu)成的
易數(shù)圖的陽圖。第一個(gè)圖，陽圖。每邊為8個(gè)數(shù)，八八六十四這個(gè)方陣，填進(jìn)去的數(shù)是從1開始，一直到64結(jié)束，填滿這個(gè)方陣，這樣填滿之后，它就成為一個(gè)幻方，就具有幻方的基本性質(zhì)。每個(gè)橫行，每一數(shù)列加上兩條對(duì)角線，每一組8個(gè)數(shù)的和都相等。
這一個(gè)8階幻方圖是楊輝所構(gòu)成的這個(gè)易數(shù)圖的陰圖。這兩個(gè)圖填法是不一樣的，但是在做出來之后呢，同樣具有幻方的基本性質(zhì)。不管是哪一種8階幻方圖，這個(gè)幻方常數(shù)我們?nèi)匀豢梢杂梦覀儎偛沤榻B的那個(gè)公式來計(jì)算一下，8階幻方常數(shù)×8×（1﹢82），1+64=65 65×8×1/2=260
這個(gè)8階幻方的幻方常數(shù)就是×8×（1﹢82），1+64，這個(gè)1+64是65。65乘8，再乘1/2，那就是乘4（得）260。就是8階幻方的幻方常數(shù)是260。楊輝創(chuàng)造的這兩個(gè)8階幻方固然非常巧妙，
但是和我們要討論的河圖洛書問題關(guān)系不是太直接，因此在這里不作過多地分析。這里介紹的一個(gè)幻方圖是元代李簡(jiǎn)制作的一個(gè)8階幻方。李簡(jiǎn)他有一本著作叫《學(xué)易記》，《學(xué)易記》卷首“圖說”
這一部分當(dāng)中有一幅“先天衍河圖萬物數(shù)圖”，這就是李簡(jiǎn)的這個(gè)圖。就是剛才說在《學(xué)易記》這本書當(dāng)中的卷首，有這么一個(gè)圖。這個(gè)圖它是用漢字表示的數(shù)字。
在這個(gè)八八六十四這么一個(gè)方陣當(dāng)中，填入從1到64這64個(gè)數(shù)。這個(gè)做出來之后，它具有這個(gè)8階幻方的具有幻方的基本性質(zhì)。但是他這個(gè)填法，和剛才我們看到的楊輝做出來的易數(shù)圖的陽圖和陰圖都不一樣。
李簡(jiǎn)做出來的這個(gè)幻方更奇妙，他和八卦這個(gè)形式更接近，這個(gè)圖產(chǎn)生過程這個(gè)是怎么樣做出來的，我曾經(jīng)做了很長(zhǎng)時(shí)間思考，我了解了他的做的這個(gè)方法。它產(chǎn)生這個(gè)過程，
在我的《河圖洛書探秘》這本書當(dāng)中，有比較詳細(xì)地分析。在這里由于時(shí)間關(guān)系，就不再介紹這個(gè)圖產(chǎn)生的過程。我們只是從欣賞的角度，我們來看一看，李簡(jiǎn)所做的這個(gè)幻方，它是怎么樣的一個(gè)情況。怎么樣的一個(gè)情況，我們?cè)诶詈?jiǎn)這個(gè)圖當(dāng)中我們可以看出來，
他這前面的這個(gè)8個(gè)數(shù)，前面的這8個(gè)數(shù)。就是1、2、3、4、5、6、7、8，他在這個(gè)圖當(dāng)中把它涂黑了，這8個(gè)數(shù)正好構(gòu)成了一個(gè)環(huán)形。而且這個(gè)環(huán)形，正好和這個(gè)八卦，就是和伏羲先天八卦那個(gè)八卦圖一致。1、2、3、4、5、6、7、8
構(gòu)成一圈，是很奇妙的。所以這個(gè)圖它就叫作“先天衍河圖萬物數(shù)圖”。他認(rèn)為這樣既然與八卦圖形有點(diǎn)接近，所以也就和河圖非常接近，所以他叫了這么一個(gè)名稱。這個(gè)圖因?yàn)槭枪糯@個(gè)書籍是黑白的印刷，
除了這8個(gè)數(shù)涂黑之外，其它的數(shù)我們還看不太很明確?，F(xiàn)在我們就可以把這個(gè)圖，換一下，用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，我把它改造一下，實(shí)際上和這個(gè)圖是一模一樣的。而且我把中間的相關(guān)的數(shù)，用彩色來表示。這樣一看我們就覺得
這個(gè)圖是非常有趣了。剛才在李簡(jiǎn)那個(gè)圖當(dāng)中涂黑的部分就是1、2、3、4、5、6、7、8這個(gè)前8個(gè)數(shù)，構(gòu)成了一個(gè)循環(huán)。好像是八卦的分布。除了這8個(gè)數(shù)之外，我們?cè)倏?，接著?個(gè)數(shù)，就是從9到16怎么分布的？
我在這個(gè)圖當(dāng)中用綠色表示，9、10、11、12、13、14、15、16，又一圈。正好在1到8這個(gè)一圈的外面，又構(gòu)成一圈。看最后的8個(gè)數(shù)，就是從57到64。57、58、59、60、
61、62、63、64又一圈，在這一圈的倒數(shù)第二圈那個(gè)數(shù)就是從這個(gè)49到56我們看。49、50、51、52、53、54、55、56就是倒數(shù)的第二圈，和倒數(shù)的第一圈，正數(shù)的第一圈，和正數(shù)的第二圈，就是這一共有四圈，都構(gòu)成這種像類似八卦的
這么一個(gè)圖形。所以這個(gè)圖，所以說這個(gè)是非常奇妙的，非常奇妙的。就是像剛才所介紹的，如果把1到64按8個(gè)數(shù)一組，分為8組，每一組數(shù)的排列都很有規(guī)則，很有規(guī)則。
1到8這8個(gè)數(shù)構(gòu)成環(huán)形，這個(gè)分別表示乾、坤、艮、坎、巽、震、離、兌，正是八卦的位置，只是這個(gè)八卦，它的方位和先天八卦、后天八卦都不太一樣。9到16這8個(gè)數(shù)的位置，正處于1至8這8個(gè)數(shù)的外圈對(duì)角位置，就剛才我們看到的對(duì)角位置，
非常有規(guī)律地分布著。49到56這一圈，緊貼著這個(gè)1至8的外側(cè)，也構(gòu)成一個(gè)環(huán)形，57到64也貼著這個(gè)1到8的外側(cè)，又構(gòu)成一個(gè)環(huán)形，所以這四個(gè)環(huán)形呈對(duì)稱互補(bǔ)的這么一個(gè)規(guī)律。除了這四圈之外，如果我們?cè)賮砜疾炱渌倪@個(gè)4組數(shù)，
就還有4組嘛一共還有這個(gè)四八三十二個(gè)數(shù)，就是17到24、25到32、33到40、41到48，這在里面也很有規(guī)律，我們就不再仔細(xì)地再來看它了，如果有興趣的話，大家可以看看這里面的幾組數(shù)也很有規(guī)律。很有規(guī)律，
所以這個(gè)圖，不知道當(dāng)時(shí)李簡(jiǎn)他是怎樣研究出來的，就是動(dòng)多少腦筋，研究這么一個(gè)非常奇怪而奇妙的一個(gè)圖，所以我認(rèn)為這個(gè)圖呀是妙不可言的，它是這個(gè)8階幻方的一個(gè)非常典型的情況，而且是和我們所說的河圖關(guān)系非常密切的一個(gè)8階幻方圖。
現(xiàn)在講第五個(gè)問題，洛書數(shù)字排列原理的推論和應(yīng)用。如前面所講的，洛書的數(shù)字排列原理是構(gòu)成所有奇數(shù)階次幻方的基礎(chǔ)。現(xiàn)在，我們還可以在洛書數(shù)字排列的基礎(chǔ)上
進(jìn)行推論，構(gòu)造出各種形式的幻方。洛書表示的3階幻方就是原來說過的就是這么一個(gè)圖。在這個(gè)基礎(chǔ)上，可以做出的推論很多，這里主要介紹四種類型。類型一在自然數(shù)的序列中任意截取9個(gè)連續(xù)的數(shù)，按洛書的數(shù)字規(guī)則排列，都可以形成幻方。
第一種類型，在自然數(shù)的序列中任意截取9個(gè)連續(xù)的數(shù)，按洛書的數(shù)字規(guī)則排列，都可以形成幻方。意思就是這個(gè)洛書的9個(gè)數(shù)就是1到9，分別加上一個(gè)相同的數(shù)，仍然是幻方。
比如說從1到9這9個(gè)數(shù)各加100，就是從101到109，這么9個(gè)數(shù)，如果按照這個(gè)洛書的原理，排列起來也是幻方。就是這樣一個(gè)圖，這個(gè)圖很顯然，這個(gè)101在這個(gè)洛書中間1的位置，
然后102、103、104、105、106、107、108、109，這就是和這個(gè)洛書的從1到9的那個(gè)數(shù)字排列順序完全一樣。就是在這個(gè)原來9個(gè)數(shù)各加100，從101到109，它同樣可以構(gòu)成幻方。
那這個(gè)幻方的幻方常數(shù)是315。這個(gè)幻方常數(shù)的計(jì)算就和前面所說的那個(gè)公式不太一樣。前面那個(gè)公式就是n（1+n2）那只能計(jì)算于，計(jì)算那個(gè)從1開始的連續(xù)的自然數(shù)用那個(gè)公式。所以這是一種類型。類型二洛書的9個(gè)數(shù)分別乘以一個(gè)相同的數(shù)，仍然是幻方。第二種類型洛書的9個(gè)數(shù)
分別乘以一個(gè)相同的數(shù)，仍然是幻方。比如說我們把洛書的從1到9各乘以100，就是從100到900這樣9個(gè)數(shù)。按照洛書的數(shù)字排列規(guī)則，排列起來它仍然是幻方。就是這樣一個(gè)圖，這就從100開始，就是在那個(gè)洛書中間的
1的位置。然后這個(gè)200、300、400、500一直排到900。900就是在這個(gè)洛書的9的位置了。這個(gè)次序，就是和洛書的從1到9的次序是完全一樣的。它也同樣構(gòu)成幻方。這個(gè)幻方的幻方常數(shù)那就是1500。同樣在這個(gè)洛書的幻方常數(shù)也乘以100，100倍。
這是第二種類型。類型三用洛書原理可以構(gòu)造非常規(guī)幻方第三種類型用洛書原理可以構(gòu)造非常規(guī)幻方。這個(gè)非常規(guī)幻方可以有各種各樣的形式，其中在這介紹兩種。在1900年西方有個(gè)數(shù)學(xué)家叫杜德尼
他構(gòu)造出一種素?cái)?shù)幻方。所謂素?cái)?shù)就是質(zhì)數(shù)，在數(shù)論當(dāng)中，素?cái)?shù)，就是質(zhì)數(shù)，是只能被1和自身整除而不能被其他任何數(shù)整除的數(shù)。就是這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除，不能被任何其它數(shù)整除的這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。杜德尼他就是用全部質(zhì)數(shù)，來組成一個(gè)幻方。他做這個(gè)幻方是這樣子的。
從1，選9個(gè)數(shù)，1、7、13、31、37、43、61、67、73這么9個(gè)數(shù)。它的排列順序從小到大，仍然是按照洛書從1到9的次序。這個(gè)最小的數(shù)1在洛書中間的1的位置，最大的數(shù)，還在洛書中間的9的位置。
所以這個(gè)幻方杜氏素?cái)?shù)幻方叫做“杜氏素?cái)?shù)幻方”。它就是一個(gè)非常規(guī)幻方。在二十世紀(jì)初的數(shù)學(xué)界，1是被作為素?cái)?shù)看待的。后來呢這個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)界談到質(zhì)數(shù)問題，談到素?cái)?shù)問題認(rèn)為1不是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)從2開始。再后來又一個(gè)數(shù)學(xué)家魯?shù)罓柗?
這個(gè)數(shù)學(xué)家就是叫魯?shù)罓柗蛩种匦伦龀鰜硪粋€(gè)由素?cái)?shù)構(gòu)成的3階幻方，就是這樣一個(gè)幻方，他選擇的質(zhì)數(shù)最小的是5，最大的是113。從5到113這9個(gè)質(zhì)數(shù)，它排列的順序，仍然是按照洛書從1到9的順序。
5、17、在2的位置。29在3的位置依次類推。到最大的數(shù)113在9的位置。這個(gè)幻方叫魯氏幻方“魯氏幻方”。舉這兩個(gè)例子說明了，這樣的非常規(guī)幻方，它在構(gòu)成的基本的規(guī)則，和洛書的數(shù)字排列原理是完全一致的。類型四用洛書原理構(gòu)造組合幻方。
第四種類型，用洛書原理構(gòu)造組合幻方。在洛書原理的基礎(chǔ)上，凡是階數(shù)為3的倍數(shù)的幻方，都可以用組合的方法進(jìn)行構(gòu)造。在能夠做出4階幻方的基礎(chǔ)上，凡是4的倍數(shù)的幻方，也可以用組合法進(jìn)行構(gòu)造。
這里我們以12階幻方為例來演示一下。12是3與4的乘積，12的平方等于3的平方和4的平方之和，就是：122=（3×4）2=9×16=144122=（3×4）2=9×16=144這個(gè)我們做的辦法就是把從1到144分成9組，
每組16個(gè)數(shù)，各做成一個(gè)4階幻方，然后把這9個(gè)4階幻方按照洛書的數(shù)字排列規(guī)則擺放起來，就成為一個(gè)12階的幻方。我們看就是這樣一個(gè)圖。這個(gè)最小的一組從1到16，組成一個(gè)4階幻方，
在洛書中間的1的位置。然后這個(gè)9個(gè)4階幻方按照這個(gè)洛書的次序，1、2、3、4、5、6、7、8、9。最大的這一組數(shù)是從129到144。這個(gè)最大的這個(gè)幻方在洛書中間的9的位置。就是說我們把這個(gè)12階幻方
由9個(gè)4階幻方組成，按照洛書的數(shù)字次序排列，它就構(gòu)成一個(gè)12階幻方。這個(gè)12階幻方，它也具有幻方的基本性質(zhì)，就是每一橫行，每一豎列，和兩條對(duì)角線的12個(gè)數(shù)，和都相等。這個(gè)12階幻方的P12=×12×（1﹢122）=870幻方常數(shù)是870。同樣道理，
我們把這個(gè)從1到144，分成16組，每組9個(gè)數(shù)，這每一組9個(gè)數(shù)，按照洛書的數(shù)字排列規(guī)則，可以做成一個(gè)3階幻方。然后把這個(gè)16個(gè)3階幻方，按照4階幻方的規(guī)則擺放起來也構(gòu)成12階幻方。這就是這個(gè)圖，從這個(gè)圖上可以看出
這是16塊，每一個(gè)小塊它是一個(gè)3階幻方，就是說從這個(gè)1到144，我們把它分成16組，最小的一組是從1到9，構(gòu)成一個(gè)3階幻方。然后每9個(gè)數(shù)，組成一個(gè)3階幻方，這一共做成16個(gè)，這16個(gè)擺放的規(guī)則按照4階幻方的規(guī)則
把它擺起來，這就組成了一個(gè)12階幻方，這個(gè)12階幻方和剛才那個(gè)12階幻方不同，但是同樣它具有幻方的基本性質(zhì)，就是說每橫行，每豎列和兩條對(duì)角線的和，都等于870。當(dāng)然我們還可以，根據(jù)洛書的基本原理，構(gòu)造其它形式的組合幻方，總之是幻方的形式千變?nèi)f化，
總是離不開洛書的原理。這一節(jié)就講到這里，謝謝大家。
|
