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算法設計之迭代法
軍人在進攻時常采用交替掩護進攻的方式，若在數軸上的點表示A，B兩人的位置，規(guī)定在前面的數大于后面的數，則是A>B，B>A交替出現。但現在假設軍中有一個膽小鬼，同時大家又都很照顧他，每次沖鋒都是讓他跟在后面，每當前面的人占據一個新的位置，就把位置交給他，然后其他人再往前占領新的位置。也就是A始終在B的前面，A向前邁進，B跟上，A把自己的位置交給B（即執(zhí)行B = A操作），然后A 再前進占領新的位置，B再跟上……直到占領所有的陣地，前進結束。像這種兩個數一前一后逐步向某個位置逼近的方法稱之為迭代法。
迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程,跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。
利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。
二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來完成。
三、對迭代過程進行控制。在什么時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執(zhí)行下去。迭代過程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對于前一種情況，可以構建一個固定次數的循環(huán)來實現對迭代過程的控制；對于后一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。
最經典的迭代算法是歐幾里德算法，用于計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴于下面的定理：
定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b 。假設d是a,b的一個公約數，則有 d%a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公約數
同理，假設d 是(b, a mod b)的公約數，則 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公約數 。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
歐幾里德算法就是根據這個原理來做的，歐幾里德算法又叫輾轉相除法，它是一個反復迭代執(zhí)行，直到余數等于0停止的步驟，這實際上是一個循環(huán)結構。其算法用C語言描述為：
int Gcd_2(int a, int b)// 歐幾里德算法求a, b的最大公約數
{
if (a<=0 || b<=0) //預防錯誤
return 0;
int temp;
while (b > 0) //b總是表示較小的那個數，若不是則交換a，b的值
{
temp = a % b; //迭代關系式
a = b; //a是那個膽小鬼，始終跟在b的后面
b = temp; //b向前沖鋒占領新的位置
}
return a;
}
從上面的程序我們可以看到a，b是迭代變量，迭代關系是temp = a % b; 根據迭代關系我們可以由舊值推出新值，然后循環(huán)執(zhí)a = b; b = temp;直到迭代過程結束（余數為0）。在這里a好比那個膽小鬼，總是從b手中接過位置，而b則是那個努力向前沖的先鋒。
還有一個很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)數列。斐波那契數列為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=2; fib(2)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當n>2時)。
在n>2時，fib(n)總可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由舊值遞推出新值，這是一個典型的迭代關系，所以我們可以考慮迭代算法。
int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)數列
{
if (n < 1)//預防錯誤
return 0;
if (n == 1 || n == 2)//特殊值，無需迭代
return 1;
int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代變量
int i;
for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值來限制迭代的次數
{
fn = f1 + f2; //迭代關系式
f1 = f2; //f1和f2迭代前進，其中f2在f1的前面
f2 = fn;
}
return fn;
}
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有一種迭代方法叫牛頓迭代法，是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式 x(n+1) = g(x(n)) = x(n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步驟執(zhí)行：
(1) 選一個方程的近似根，賦給變量x1;
(2) 將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結果存于變量x0;
(3) 當x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復步驟(2)的計算。
若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就
認為是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。 x的初值為3.14159/4,用牛頓法求解方程f(x)=0的近似值，要求精確到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法構造方程為：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include<stdio.h>
double F1(double x); //要求解的函數
double F2(double x); //要求解的函數的一階導數函數
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0 = 3.14159/4;
double e = 10E-6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函數
{
return cos(x) - x;
}
double F2(double x) //要求解的函數的一階導數函數
{
return -sin(x) - 1;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return x0; //若返回x0和x1的平均值則更佳
}
例2：用牛頓迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精確到10E－6。
算法分析：取x0 = 100; 和 x0 = -100;
f(x)的Newton代法構造方程為： x(n+1) = xn - (xn*xn – 5*xn + 6) / (2*xn - 5)
#include<stdio.h>
double F1(double x); //要求解的函數
double F2(double x); //要求解的函數的一階導數函數
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0;
double e = 10E-6;
x0 = 100;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
x0 = -100;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函數
{
return x * x - 5 * x + 6;
}
double F2(double x) //要求解的函數的一階導數函數
{
return 2 * x - 5;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double x1;
do {
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return (x0 + x1) * 0.5;
}
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發(fā)生的情況：
(1) 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數給予限制;
(2) 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導
致迭代失敗。選初值時應使:|df(x)/dx|<1,|df(x)/dx|越小收斂速度越快!
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練習：
1．驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發(fā)現了一個奇怪現象：對于任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2; 若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然后再加 1 。如此經過有限次運算后，總可以得到自然數 1 。人們把谷角靜夫的這一發(fā)現叫做“谷角猜想”。
要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算后，最終變成自然數 1 的全過程打印出來。
2．阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養(yǎng)參液的容器內，45分鐘后容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴2^20個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請編程序算出。
3．五只猴子一起摘了一堆桃子,因為太累了,它們商量決定,先睡一覺再分.一會其中的一只猴子來了,它見別的猴子沒來,便將這堆桃子平均分成5份 ,結果多了一個,就將多的這個吃了,并拿走其中的一份.一會兒,第2只猴子來了,他不知道已經有一個同伴來過,還以為自己是第一個到的呢,于是將地上的桃子堆起來,再一次平均分成5份,發(fā)現也多了一個,同樣吃了這1個,并拿走其中一份.接著來的第3,第4,第5只猴子都是這樣做的.......,
根據上面的條件,問這5只猴子至少摘了多少個桃子?第5只猴子走后還剩下多少個桃子?
4. 用牛頓迭代法求方程x^2 = 45， 要求精確到10E－6。
提示：取x0 = -6; 和 x0 = 6;
f(x)的Newton代法構造方程為： x(n+1) = xn - (xn*xn - 45) / (2*xn)
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參考答案：
1．#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
int n;
puts("input n: ");
scanf("%d", &n);
puts("過程:");
printf("%d -> ", n);
while (n != 1)
{
if (0 == (n&1))
n = n / 2; //迭代關系式
else
n = n * 3 + 1; //迭代關系式
printf("%d -> ", n);
}
printf("\b\b\b\b \n");//去掉多余的“ -> ”
system("pause");
return 0;
}
2. 算法分析： 根據題意，阿米巴每3分鐘分裂一次，那么從開始的時候將阿米巴放入容器里面，到45分鐘后充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而"容器最多可以裝阿米巴2^20個"，
即阿米巴分裂15次以后得到的個數是2^20 。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第15次分裂之后的2^20個，倒推出第15次分裂之前（即第14次分裂之后）的個數，再進一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后、……第1次分裂之前的個數。 設第1次分裂之前的個數為x0 、第1次分裂之后的個數為x1 、第2次分裂之后的個數為x2 、……
第15次分裂之后的個數為x(15)，則有x(14)=x(15)/2,x(13)=x(14)/2,……x(n-1)=x(n)/2 (n >= 1) 因為第15次分裂之后的個數x(15)是已知的，如果定義迭代變量為x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式： x=x/2 (x的初值為第15次分裂之后的個數2^20)讓這個迭代公式重復執(zhí)行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環(huán)來實現對迭代過程的控制。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int max = pow(2, 20);
int n = 15;
int i;
int s = max;
for (i=1; i<=n; i++)
{
s /= 2;
}
printf("開始的時候往容器內放了%d個阿米巴\n", s);
getchar();
return 0;
}
3. 算法分析：先要找一下第N只猴子和其面前桃子數的關系。如果從第1只開始往第5只找，不好找，但如果思路一變，從第N到第1去，可得出下面的推導式：
第N只猴 第N只猴前桃子數目
6 s6=x， 即最后剩下的桃子數
5 s5=s6*5/4+1
4 s4=s5*5/4+1
3 s3=s4*5/4+1
2 s2=s3*5/4+1
1 s1=s2*5/4+1， 即最初的桃子數
s1即為所求。上面的規(guī)律中只要將s1-s5的下標去掉：
s=x
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
很顯然，這是一種迭代，所以可以用循環(huán)語句加以解決。
綜觀程序的整體結構，最外是一個循環(huán)，因為循環(huán)次數不定，可以使用While循環(huán)，其結束條件則是找到第一個符合條件的數。為了做出上面while循環(huán)的結束條件，還需進一步分析上述規(guī)律的特點，要符合題目中的要求，s2-s6五個數必須全部能被4整除，而s1不能被4整除，這個可作為條件。具體實現請參看源程序。
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int x, s;
int i;
for(x=0; ;x+=4)
{
s = x;
for (i=0; i<5; i++)
{
s = s * 5 / 4 + 1;
if (s % 4)
break;
}
if (i == 4)
break;
}
printf("摘了%d個桃子, 剩下%d個桃子\n", s, x);
getchar();
return 0;
}
4. #include<stdio.h>
double F1(double x); //要求解的函數
double F2(double x); //要求解的函數的一階導數函數
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0;
double e = 10E-6;
x0 = -6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
x0 = 6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函數
{
return x * x - 45;
}
double F2(double x) //要求解的函數的一階導數函數
{
return 2 * x;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return (x0 + x1) * 0.5;
}
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