哥德爾對數(shù)學(xué)做出的最主要的貢獻(xiàn)

    庫爾特·哥德爾于1906年4月28日出生在奧匈帝國屬下的布瑞尼(今天的布爾諾，這里出過另一位偉大人物遺傳學(xué)之父孟德爾)，他的父母是德國人。與一般人推測不同，他并沒有猶太血統(tǒng)。他在家鄉(xiāng)上了四年國民學(xué)校和八年德國國立中學(xué)。1924年中學(xué)畢業(yè)后，他進(jìn)入維也納大學(xué)哲學(xué)系，先是攻讀物理，后于1926年轉(zhuǎn)而攻讀數(shù)學(xué)，這恐怕是出于他對精密性和嚴(yán)格性過分偏愛的緣故。當(dāng)時(shí)的維也納大學(xué)有不少有國際聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家，如曾解決過希爾伯特的一些猜想的數(shù)論專家費(fèi)特萬格勒，泛函分析的創(chuàng)始人之一哈恩與拓?fù)鋵W(xué)家門格爾等。

    大學(xué)時(shí)哥德爾對費(fèi)特萬格勒的數(shù)論課很有興趣，這同他后來的工作有很大關(guān)系，比如他應(yīng)用孫子定理來構(gòu)造由加法與乘法表出的原始遞歸函數(shù)。

    上大學(xué)時(shí)，哥德爾對哲學(xué)也很有興趣，實(shí)際上對哲學(xué)的探索始終貫穿著他的一生。他聽哲學(xué)教授的講課，特別是經(jīng)常參加維也納小組的活動(dòng)。二十世紀(jì)最主要的哲學(xué)流派——邏輯實(shí)證主義當(dāng)時(shí)剛剛開始他們的事業(yè)，哥德爾贊成以施里克為首的這個(gè)學(xué)派的分析方法，即用數(shù)理邏輯來對哲學(xué)及科學(xué)概念進(jìn)行分析。但是他也一直不同意他們否定客觀實(shí)在性，及認(rèn)為形而上學(xué)命題是無意義命題等基本觀點(diǎn)。不過，他的哲學(xué)觀點(diǎn)也促使他對于數(shù)理邏輯進(jìn)行深入的鉆研。

    當(dāng)時(shí)數(shù)理邏輯的經(jīng)典著作是羅素和懷特海的《數(shù)學(xué)原理》，這三卷滿是符號(hào)的大書，恐怕只有極少數(shù)人讀過。1928年，希爾伯特和阿克曼合著的《理論邏輯綱要》出版，這是一本論述簡明、清晰，概括性強(qiáng)的好書，對哥德爾的啟發(fā)性很大。書中明確提出一個(gè)尚未解決的問題——狹義謂詞演算的完全性問題。哥德爾很快解決了這個(gè)問題，把結(jié)果寫成博士論文，成為他一生事業(yè)的開端。

    1929年秋天哥德爾通過了答辯，并在1930年2月得到批準(zhǔn)取得博士學(xué)位。1930年夏天，哥德爾開始研究希爾伯特計(jì)劃，他想證明分析的無矛盾性。9月，他到東普魯士哥尼斯堡去參加科學(xué)會(huì)會(huì)議，許多著名數(shù)學(xué)家如希爾伯特、馮·諾依曼、海丁、卡爾納普都參加了這次會(huì)議。希爾伯特在會(huì)上做了題為“邏輯和對自然的認(rèn)識(shí)”的著名演說，他樂觀地宣稱：“我們必須知道，我們將會(huì)知道”?？墒牵驮谶@個(gè)會(huì)上哥德爾宣布了他的第一不完全性定理。不久他又證明了第二不完全定理。他的研究結(jié)果毫無疑問是對希爾伯特計(jì)劃莫大的打擊。

    第一不完備性定理：任意一個(gè)包含算術(shù)系統(tǒng)在內(nèi)的形式系統(tǒng)中，都存在一個(gè)命題，它在這個(gè)系統(tǒng)中既不能被證明，也不能被否定。

    哥德爾證明了任何一個(gè)形式體系，只要包括了簡單的初等數(shù)論描述，而且是一致的，它必定包含某些體系內(nèi)所允許的方法既不能證明，也不能證偽的命題.。

    第二不完備性定理：任意一個(gè)包含算術(shù)系統(tǒng)的形式系統(tǒng)自身不能證明它本身的無矛盾性。

    哥德爾的不完全性定理在當(dāng)時(shí)產(chǎn)生了巨大的影響，它不僅粉碎了數(shù)學(xué)家兩千年來的信念。他告訴人們，真與可證是兩個(gè)概念?？勺C的一定是真的，但真的不一定可證。也就說在某種意義上，悖論的陰影將永遠(yuǎn)伴隨著我們。這一理論使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究發(fā)生了劃時(shí)代的變化，更是現(xiàn)代邏輯史上很重要的一座里程碑。該定理與塔斯基的形式語言的真理論，圖靈機(jī)和判定問題被贊譽(yù)為現(xiàn)代邏輯科學(xué)在哲學(xué)方面的三大成果。

    大數(shù)學(xué)家外爾說：“上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種相容性。”反映了當(dāng)時(shí)一大批數(shù)學(xué)家的心聲。

    1931年哥德爾在維也納大學(xué)當(dāng)助教，他的就職論文得到了很高的評(píng)價(jià)。從1933年到1938年，他在維也納大學(xué)當(dāng)講師。1932年他到過哥丁根，見到過愛米·諾特、西格爾、甘岑等人。他沒見到早逝的天才厄布朗，但他們交換過信件，厄布朗的信中有最早的遞歸函數(shù)想法。但是厄布朗只收到哥德爾一封信。

    1933年到1934年，哥德爾第一次來到普林斯頓大學(xué)高等研究院。他在這里見到丘奇、克林和羅塞爾。他在普林斯頓大學(xué)發(fā)表了《論形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)的不可判定命題》的演講，這對后來美國研究遞歸論是極大的推動(dòng)。

    1937年，哥德爾在維也納講授“公理化集合論”，這時(shí)他開始集中力量研究這個(gè)題目。在他秋天來到高等研究院時(shí)，他已經(jīng)對選擇公理的無矛盾性有所考慮，并把自己的思想同馮·諾依曼交談過。不過，他的可構(gòu)造集的思想、廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理與NGB系統(tǒng)的無矛盾性，一直到1938年秋天才在高等研究院講演，并在1938到1940年發(fā)表。這時(shí)他已經(jīng)開始定居美國了。

    1938年3月，希特勒兼并奧地利，這時(shí)哥德爾剛剛結(jié)婚。1939年9月，二次大戰(zhàn)爆發(fā)，他于1939年底橫貫蘇聯(lián)的西伯利亞太鐵路經(jīng)日本到了美國，從此再也沒有回奧地利。在美國，除了1940年春季在圣母大學(xué)任教外，一直在普林斯頓高等研究院工作。由于研究院里有人反對和阻撓，直到1947年他才被批準(zhǔn)為常任研究員，1953年才成為教授。對于這樣偉大的數(shù)學(xué)家來說，得到這種稱號(hào)的時(shí)間實(shí)在是太晚了。到這時(shí)，他在數(shù)理邏輯方面的主要工作都已經(jīng)完成了，他的興趣已經(jīng)轉(zhuǎn)向其他方面了。

    1947年到1951年，哥德爾開始注意和研究廣義相對論。他同愛因斯坦是多年老鄰居，他們幾乎天天一起散步回家。但是哥德爾表示，他對相對論的興趣并非來自同愛因斯坦的談話，而是來自對康德時(shí)空哲學(xué)的興趣。1950年，他在國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做的報(bào)告，就是關(guān)于“旋轉(zhuǎn)宇宙”的論文。

    后來，哥德爾的興趣轉(zhuǎn)向哲學(xué)。他認(rèn)為，健全的哲學(xué)思想對科學(xué)研究的成功有很密切的關(guān)系。他說，數(shù)學(xué)及元數(shù)學(xué)的(特別是關(guān)于超窮推理的)客觀主義觀點(diǎn)，對于他的邏輯研究是最根本的。1959年起，哥德爾開始閱讀德國哲學(xué)家胡塞爾的哲學(xué)著作，并一直保持著強(qiáng)烈的興趣。他認(rèn)為有些哲學(xué)家，特別是拍拉圖和笛卡爾，在他們一生中具有一種與日常生活的世界觀完全不同的直觀的世界觀，也許胡塞爾也曾達(dá)到過這種境界。

    晚年，哥德爾間或?qū)?shù)理邏輯作些工作。美國符號(hào)邏輯協(xié)會(huì)正在組織力量搜集整理他的著作，準(zhǔn)備出版他的全集。他已經(jīng)出版的邏輯方面的論著不過二十余篇，大都很簡短，不過它們在歷史上的作用是十分巨大的。

    1978年1月14日下午，哥德爾在普林斯頓醫(yī)院的椅子上坐著候診時(shí)去世，享年72歲。