或者約等于4.3·10¹⁹。

三階魔方總變化數(shù)的道理是這樣：六個(gè)中心塊定好朝向后，我們就不可以翻轉(zhuǎn)魔方了，而他們也正好構(gòu)成了一個(gè)坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)系里，8個(gè)角色塊全排列8!，而每個(gè)角色塊又有3種朝向，所以是8!*3⁸，12個(gè)棱色塊全排列每個(gè)有2種朝向是12!*2¹²，這樣相乘就是分子，而分母上3*2*2的意義是，保持其他色塊不動(dòng)，不可以單獨(dú)改變一個(gè)角色塊朝向，改變一個(gè)棱色塊朝向，和單獨(dú)交換一對(duì)棱色塊或一對(duì)角色塊的位置。

第一個(gè)道理：為什么不能單獨(dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)棱色塊。

想象我們對(duì)6個(gè)中心色塊定好了我們喜愛(ài)的方向，我們就定好了一個(gè)坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是魔方的體中心。坐標(biāo)有明確的正負(fù)方向。我們可以看見(jiàn)魔方的每一個(gè)棱色塊都是有一條棱的（這不廢話(huà)么，呵呵），對(duì)應(yīng)于 水平、前后、豎直x,y,z三個(gè)軸，分別有4條棱和他們每一個(gè)平行，我們把這4條棱都標(biāo)上一個(gè)箭頭，指向正的方向?，F(xiàn)在如果你有一個(gè)魔方可以這樣做一下。我們現(xiàn)在想象空間中有了這樣一個(gè)坐標(biāo)系，和12個(gè)箭頭。考慮任意面的旋轉(zhuǎn)，（我這里不考慮3個(gè)中面的旋轉(zhuǎn)，(因?yàn)椋?，這樣動(dòng)了坐標(biāo)系，2，中面的旋轉(zhuǎn)可以等效兩個(gè)側(cè)面的旋轉(zhuǎn)。)，這時(shí)我們不考慮魔方，和魔方的花色，把他看成透明的，我們只考慮箭頭，每次任意面旋轉(zhuǎn)90度，我們都會(huì)讓2個(gè)箭頭改變方向（由正變負(fù)），我們只看結(jié)果，不考慮轉(zhuǎn)的過(guò)程，不區(qū)分箭頭哪來(lái)的。 翻轉(zhuǎn)一個(gè)面90度是魔方的原子操作，他只能同時(shí)改變2個(gè)箭頭的方向。所以我們最后不可能得到其他塊不變只有1個(gè)箭頭被翻轉(zhuǎn)，也就是不可能只有一個(gè)棱色塊被翻轉(zhuǎn)。

第二個(gè)道理：為什么不能單獨(dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)角色塊。

這個(gè)問(wèn)題說(shuō)起來(lái)，首先需要澄清角色塊的方向是如何定義的。因?yàn)榻巧珘K會(huì)處在8個(gè)不同的位置，他的方向卻只有3種，我怎么定義一個(gè)移動(dòng)的坐標(biāo)，又能準(zhǔn)確標(biāo)示出這3種方向變化呢？ 我這里建議一種： 首先讓你的視線(xiàn)穿過(guò)一個(gè)角色塊的頂點(diǎn)和整個(gè)魔方的體中心，你會(huì)看到一個(gè)Y是不是？以你的視線(xiàn)為軸，這個(gè)角色塊可以旋轉(zhuǎn)，他有3個(gè)位置。如下：

0°	120°	240°

試試轉(zhuǎn)一個(gè)側(cè)面，看看色塊在新的位置朝向是怎樣的？如果你轉(zhuǎn)一個(gè)魔方的右側(cè)面90度，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最靠近你眼睛的那個(gè)角色塊的朝向轉(zhuǎn)過(guò)了120度。盯住這個(gè)色塊，再轉(zhuǎn)一下，他轉(zhuǎn)到下面來(lái)了，為了仍然呈現(xiàn)一個(gè)Y，我們這時(shí)可以將 魔方底面翻上來(lái)，這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)角色塊又轉(zhuǎn)回了0如此等等。重點(diǎn)是，你觀察任何一面的90度旋轉(zhuǎn)，4個(gè)角色塊，他們的朝向 旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度總和 一定是360度的整數(shù)倍 ，準(zhǔn)確的說(shuō)就是120+240+240+120。 因?yàn)椋D(zhuǎn)一個(gè)面是最小的原子操作，所以無(wú)論經(jīng)過(guò)怎樣多少步的操作，我們所有角色塊角度變化和都是360*n，所以我們不可能只將一個(gè)色塊旋轉(zhuǎn)120度或者240，而讓其他色塊不變化，也因此我們證明了為什么不能單獨(dú)翻轉(zhuǎn)一個(gè)角色塊。

第三個(gè)道理：為什么不能只對(duì)調(diào)一對(duì)色塊。

首先我們考慮1234四個(gè)數(shù)的排列問(wèn)題。1234變成4123，是所有數(shù)向右推移一位的變換。大家聯(lián)想一下魔方，每轉(zhuǎn)一個(gè)面90度，4個(gè)角，4個(gè)棱都是這種變換是吧。

1234變4123 我以后簡(jiǎn)稱(chēng)（1234），其實(shí)也好記，就是1 to 2，2 to 3， 3 to 4，4 to 1， 要是（1432）就是1到4，4到3，3到2，2到1，就是向左推移。

（1234）是由幾個(gè)“交換兩個(gè)數(shù)”的變換組成的呢。這里直接給出答案(1234)=(12)(13)(14),(12)的意思就是1到2，2到1。

具體說(shuō)，我們看 1234變化的過(guò)程是這樣： 

• （12） 2134

• （13） 3124

• （14） 4123

正好就是變換（1234）。 這樣我們知道（1234）是經(jīng)過(guò)奇數(shù)個(gè)交換得到的。

任何一個(gè)變換都可以由若干個(gè)兩兩交換得到。因?yàn)閷?duì)于一個(gè)目標(biāo)排列如2413，我怎么做呢， 這里面內(nèi)在的道理就涉及群論的初步。這可能叫做循環(huán)群，我不確定，因?yàn)槲覜](méi)看過(guò)書(shū)。 1234全排列有4!=24個(gè)，而對(duì)1234的變換也有24種。他們構(gòu)成一個(gè)群。

什么是群？

一個(gè)群就是有一堆元素。我們還需要一個(gè)運(yùn)算 “*”。 他們滿(mǎn)足：

1. 封閉性：a和b是群里的元素，那么a*b也是。
2. 存在元素e（其實(shí)就是類(lèi)比乘法里的1）。a*e=e*a=a
3. 每個(gè)元素a 都有唯一逆元a^-1, a*a^-1=a^-1*a=e 
4. 結(jié)合律 (a*b)*c=a*(b*c)

好像很boring，我每次看都覺(jué)得，但是今天自己寫(xiě)一遍就不覺(jué)得。這里面，我是說(shuō)這件bo不boring的事里面是有道理的。 需要指出的是通常群并不滿(mǎn)足交換律。滿(mǎn)足交換律的叫做abel群（等于什么都沒(méi)說(shuō)）。 為啥我說(shuō)對(duì)1234的24個(gè)變換構(gòu)成一個(gè)群呢。 我說(shuō)的24個(gè)變換就是對(duì)應(yīng)了1234的24種排列，每個(gè)變換就是把1234變到其中的一種排列所使用的變換。 對(duì)于這些變換的運(yùn)算“*”就是做變換的先后順序，a*b就是先做a再做b。

• 首先1234是一個(gè)排列，他對(duì)應(yīng)了一種變換，就是不變，我用（1）來(lái)表示，他就是滿(mǎn)足定義第二條的元素e。
• 封閉性，這是顯然的，因?yàn)橹挥?4種排列，和對(duì)應(yīng)的變換，跑不出去。
• 逆元都是有的，就是把每步逆序然后取反，肯定都在這24個(gè)變換當(dāng)中。
• 結(jié)合律看似挺麻煩，其實(shí)是顯然的，因?yàn)?a*b)*c，a*(b*c)的意思都是先a再b再c。 這樣他們構(gòu)成了一個(gè)群，

so what？其實(shí)我現(xiàn)在也不好說(shuō)構(gòu)成了一個(gè)群就怎么樣。我只是說(shuō)我可以用群的一些性質(zhì)。知道這個(gè)結(jié)構(gòu)的一些特點(diǎn)了。也可以用分析群的一些視角，一些想法來(lái)分析這個(gè)系統(tǒng)。 首先我們看這24個(gè)變換。

• (1), 偶
• (12), (13), (14), (23), (24), (34), 奇
• (123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)偶

這是15個(gè)，還剩9個(gè)，如果不明白什么意思，看前面，我說(shuō)一個(gè)（243）意思是2到4，4到3，3到2，他把1234的1不動(dòng)，234三個(gè)數(shù)字輪換的向左推移一位變成1342。 還有顯然的

• (1234),(1432),奇
• (14)(23), (13)(24),(12)(34)偶

還剩4個(gè) 他們是

• (13)(12)(24), (12)(14)(13), (14)(23)(12), (13)(24)(12) 奇

我們叫有奇數(shù)個(gè) 兩兩交換 組成的變換為奇變換，反之為偶變換，其實(shí)就是把群元素標(biāo)出奇偶性。 我們看到兩個(gè)奇變換運(yùn)算得到偶變換，而兩個(gè)偶變換運(yùn)算永遠(yuǎn)得不到奇數(shù)變換。

這樣偶變換事實(shí)上構(gòu)成了一個(gè)子群。 也就是說(shuō)他們做運(yùn)算是封閉的。他們是

• (1), 偶
• (123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)偶
• (14)(23), (13)(24),(12)(34)偶

這12個(gè)元素構(gòu)成了一個(gè)子群。 我好像想錯(cuò)了一些事情，呵呵。 不過(guò)前面寫(xiě)出的都是正確的。我可能以后會(huì)用到 回到為什么不能只對(duì)調(diào)一對(duì)色塊。

為什么？因?yàn)橐粋€(gè)原子操作，將一個(gè)面旋轉(zhuǎn)90度，將4個(gè)角做了（1234）或（1432）是一個(gè)3個(gè)交換的奇變換，4個(gè)棱同樣是3個(gè)交換的奇變換，這樣他對(duì)所有的色塊做的變換總的效果是一個(gè)偶變換。 所以對(duì)于所有色塊的排列，我們能夠達(dá)成的都是偶變換，而只對(duì)調(diào)一對(duì)色塊是一個(gè)奇變換。不可能達(dá)成。 因此，我們證明了為什么不能只對(duì)調(diào)一對(duì)色塊。

相關(guān)的問(wèn)題（待發(fā)展）

(1)如果我翻轉(zhuǎn)一個(gè)角色塊一定使魔方不可解，那么我翻轉(zhuǎn)2個(gè)會(huì)怎么樣？

(2)同樣的問(wèn)題，我同時(shí)翻轉(zhuǎn)兩個(gè)棱色塊會(huì)怎么樣?

答案：

（1）2個(gè)角色塊翻法有9種，其中有3種是可解的。什么樣的3種是可解的？

是(0，0), (120,240), (240,120),其他6種組合一定不可解。 但是這里面還有一個(gè)問(wèn)題，我只是說(shuō)這3種組合是可能可解的，沒(méi)說(shuō)必可解。因?yàn)槲椰F(xiàn)在只是說(shuō)明了，總和為360度為可解的必要條件，并非充分條件，但是事實(shí)證明這三種就是必然可解的。證明我還沒(méi)想的太清楚。

（2）同時(shí)翻任何兩個(gè)棱色塊都是可解的。 因?yàn)?個(gè)棱翻轉(zhuǎn)有4種可能，00，11，01，10，既然01，10不可解，00可解，11是可能有解的，事實(shí)證明也是一定有解的。

感謝本站網(wǎng)友Cielo給我提供證明的方法，下面我簡(jiǎn)單復(fù)述一下。

00，當(dāng)然有解，為什么11一定有解呢？可以這樣證明，如果這兩個(gè)被翻轉(zhuǎn)的棱在同一個(gè)面上，我們就可以用高級(jí)玩法第二頁(yè)的oll-39和oll-40，以及后面的pll的算法將其搞定，如果不在一個(gè)平面上，我們總可以用一步將其變到一個(gè)平面上，同樣應(yīng)用上面的過(guò)程，因?yàn)樯厦娴倪^(guò)程相當(dāng)于只是翻轉(zhuǎn)了兩個(gè)棱，而其他的色塊都沒(méi)有變動(dòng)，所以最后加一步還原就行了。這樣我們就證明了任意翻轉(zhuǎn)兩個(gè)棱，一定就可以還原。

同理對(duì)于上面第一個(gè)問(wèn)題，(0，0), (120,240), (240,120)為什么一定可解？還是把被翻轉(zhuǎn)的兩個(gè)角湊到一個(gè)平面上，然后應(yīng)用http://www./fridrich2.htm 里的oll35-37算法，就可以將其翻轉(zhuǎn)，然后再用剛才湊到一平面上的逆算法將其還原就ok了。

對(duì)于任意交換一對(duì)角或者一對(duì)棱，不可以還原，那么任意交換兩對(duì)為什么就一定可以還原呢？

還是一樣的道理，我們只需用幾步準(zhǔn)備算法把這幾個(gè)要交換的棱色塊變到一個(gè)面上，然后用pll算法將其交換，因?yàn)閜ll算法交換這些色塊的同時(shí)，對(duì)其他色塊一點(diǎn)影響也沒(méi)有，所以我們就可以用 開(kāi)始準(zhǔn)備算法的逆算法還原回去，這樣也就證明了任意交換兩對(duì)色塊，就是一定可以還原的。

至此我們終于完成了魔方總變化數(shù)的完整證明，充分而又必要：）