數(shù)學(xué)建模理論在解題中的運(yùn)用

    “能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”是九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的初中數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一。學(xué)生通過(guò)初中的學(xué)習(xí)應(yīng)該要具備這種能力，這也是中考中考核的最重要的知識(shí)點(diǎn)之一。在最近幾年的中考中這類題型層出不窮，它們或多或少都有一些數(shù)學(xué)建模思想。下面我主要通過(guò)2005年的全國(guó)各地中考題型分析來(lái)闡述建模理論的應(yīng)用。

1.      數(shù)學(xué)建模的理論

數(shù)學(xué)建模是對(duì)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、經(jīng)濟(jì)管理、生產(chǎn)實(shí)際等現(xiàn)實(shí)生活中所遇到的實(shí)際問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)的思想、方法、知識(shí)解決的過(guò)程，主要程序如下所示：

     實(shí)際情景      實(shí)際問(wèn)題      數(shù)學(xué)問(wèn)題

      反饋↑                                          ↓求解

     實(shí)際結(jié)果      檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)果       數(shù)學(xué)結(jié)果

　　2.建模理論的實(shí)際應(yīng)用:

      2.1．例題：

例1：小明家使用的是分時(shí)電表，按平時(shí)段（6：00－22：00）和谷時(shí)段（22：00－次日6：00）分別計(jì)費(fèi)，平時(shí)段每度電價(jià)為0.61元，谷時(shí)段每度電價(jià)為0.30元，小明將家里2005年1月至5月的平時(shí)段和谷時(shí)段的用電量分別用折線圖表示（如圖7），同時(shí)將前4個(gè)月的用電量和相應(yīng)電費(fèi)制成表格（如表1）

根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：

（1）   計(jì)算5月份的用電量和相應(yīng)電費(fèi)，將所得結(jié)果填入表1中；

（2）   小明家這5個(gè)月的月平均用電量為　　　　　度；

（3）   小明家這5個(gè)月的月平均用電量呈　　　　　趨勢(shì)（選擇“上升”或“下降”）；這5個(gè)月每月電費(fèi)呈　　　　　趨勢(shì)（選擇“上升”或“下降”）；

（4）   小明預(yù)計(jì)7月份家中用電量很大，估計(jì)7月份用電量可達(dá)500度，相應(yīng)電費(fèi)將達(dá)243元，請(qǐng)你根據(jù)小明的估計(jì)，計(jì)算出7月份小明家平時(shí)段用電量和谷時(shí)段用電量.

     2.2評(píng)析:

（1）實(shí)際背景：近幾年來(lái)隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展帶來(lái)了能源的緊缺，電力能源遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在這個(gè)背景下，電力部門采取了分時(shí)計(jì)費(fèi)的方式，這樣暫時(shí)緩解了供電緊張的局面。

（2）數(shù)學(xué)問(wèn)題：編制考題的老師為了能夠讓學(xué)生的答案統(tǒng)一、有利于閱卷，因此他們直接將這樣的實(shí)際問(wèn)題自己抽象成了數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且設(shè)計(jì)了以上幾個(gè)問(wèn)題，學(xué)生給予解答并去檢驗(yàn)是否符合實(shí)際。

（3）設(shè)計(jì)缺陷：此類題型看是來(lái)自實(shí)際，但是學(xué)生的實(shí)際運(yùn)用能力的提高相對(duì)教弱，它仍然無(wú)法測(cè)試學(xué)生的實(shí)際抽象能力，僅僅考察了學(xué)生根據(jù)已知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用已學(xué)知識(shí)然后去解決問(wèn)題的能力。但是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)忽視了，那就是他們的抽象概括能力或者說(shuō)是他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。當(dāng)然，新教材的出現(xiàn)也帶來(lái)了很多彌補(bǔ)考試中的不足，比如研究性課題的出現(xiàn)，讓學(xué)生自己探索，自己設(shè)計(jì)問(wèn)題并解決問(wèn)題。再比如現(xiàn)在有很多中學(xué)生建模比賽，數(shù)學(xué)知識(shí)比賽等等。

2.3例題：

 例2：某廠從2001年起開始投入技術(shù)改進(jìn)資金，經(jīng)技術(shù)改進(jìn)后，其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)

如下表：

(1)請(qǐng)你認(rèn)真分析表中數(shù)據(jù)，從你所學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示其變化規(guī)律，說(shuō)明確定是這種函數(shù)而不是其它函數(shù)的理由，并求出它的解析式；

(2)按照這種變化規(guī)律，若2005年已投人技改資金5萬(wàn)元．

①預(yù)計(jì)生產(chǎn)成本每件比2004年降低多少萬(wàn)元?

②如果打算在2005年把每件產(chǎn)品成本降低到3.2萬(wàn)元，則還需投入技改資金多少萬(wàn)元（結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)?

 (1)解：設(shè)其為一次函數(shù)，解析式為

當(dāng) 時(shí)， ；  當(dāng) =3時(shí)， 6．

解得 ，

∴一次函數(shù)解析式為

把 時(shí)， 代人此函數(shù)解析式，

左邊≠右邊．

∴其不是一次函數(shù)．

同理．其也不是二次函數(shù)．   

設(shè)其為反比例函數(shù)．解析式為 。

當(dāng) 時(shí)， ，可得 解得

∴反比例函數(shù)是 。驗(yàn)證：當(dāng) =3時(shí)， ，符合反比例函數(shù)。

同理可驗(yàn)證 4時(shí)， ， 時(shí)， 成立。

可用反比例函數(shù) 表示其變化規(guī)律。

 (2)解：①當(dāng) 5萬(wàn)元時(shí)，， 。 （萬(wàn)元），

∴生產(chǎn)成本每件比2004年降低0．4萬(wàn)元。

②當(dāng) 時(shí)， 。

∴ ∴ （萬(wàn)元）

∴還約需投入0.63萬(wàn)元． 

  2.4評(píng)析:

     （1）此題的背景不如上題，同樣與上題有類似的缺陷，不利于考察學(xué)生的抽象概括能力。

     （2）此題要求學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力非常強(qiáng)、要求教高，它要求學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式靈活運(yùn)用，同時(shí)此題最經(jīng)典之處就是它用上了數(shù)學(xué)建模思想中的曲線擬合思想，并要求學(xué)生除了自己選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ椭猓€要自己去驗(yàn)證此模型，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)在此題中均不符合，但是反比例函數(shù)確可以。后來(lái)又要求學(xué)生利用所給模型去解決實(shí)際問(wèn)題，筆者認(rèn)為此題非常好。

3．總結(jié)：

   這類題型在中考中越來(lái)越顯得非常重要，這就要求我們教師在平時(shí)的教學(xué)中不斷

探索，多讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自己去將一些實(shí)際問(wèn)題抽象概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從

而使他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力得到提高。

參考文獻(xiàn)：

1．徐稼紅，《中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模》，蘇州大學(xué)出版社，2001年7月