第二節(jié) 標準差
次數(shù)分布中的數(shù)據(jù)不僅有集中趨勢，而且還有離中趨勢。所謂離中趨勢指的是數(shù)據(jù)具有偏離中心位置的趨勢，它反映了一組數(shù)據(jù)本身的離散程度和差異性程度。標準差能綜合反映一組數(shù)據(jù)的離散程度或個別差異程度。
例如，甲、乙兩班學生各50人，其語文平均成績都是80分，但甲班最高成績98分，最低42分，而乙班最高成績86分，最低60分。初步看出，兩班語文成績是不一樣的，甲班學生的語文成績個別差異程度大、水平參差不齊；而乙班學生的語文成績差異程度小，語文水平整齊度大些。 怎樣用標準差 這個特征量數(shù)來刻畫一組數(shù)據(jù)的差異程度呢？下面介紹標準差的概念及計算。
一、標準差概念與計算
1.標準差定義與計算公式
一組數(shù)據(jù)的標準差，指的是這組數(shù)據(jù)的離差平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得商的算術平方根。若用S 代表標準差，則標準差的計算公式為：
標準差的平方，稱為方差，用S2表示方差。
計算標準差時，首先要計算數(shù)據(jù)的平均數(shù) 
，接著要計算各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之間的離差平方，即（
）2，最后由公式（2-5）計算標準差S。
例如，4名兒童的身高分別是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名兒童身高數(shù)據(jù)的標準差時，其基本步驟如下：
?、偾笃骄鶖?shù)：
（厘米）
②求離差平方和：
)2=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2
=100+400+0+900=1400（平方厘米）
?、矍髽藴什?em>S：S= 
（厘米）
這樣，我們大體可認為，這4名兒童身高差異程度，從平均角度來看，約相差18.71厘米。
2.標準差的計算中心方法
計算標準差的方法有三種，一是按公式逐步分析計算，如上述所示；二是以列表計算的方式；三是利用計算器或計算機進行計算。下面再舉一例說明采用列表方式計算標準差S。
[例7] 已知8 位同學在某圖形辨認測驗中的成績數(shù)據(jù)（見表2-2），計算這組數(shù)據(jù)的標準差。
[分析解答] 采用列表計算方式,應用公式（2-5）確定數(shù)據(jù)的標準差，詳見表2-2。
表2-2 計算標準差S的示例
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Xi
|
Xi- 
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(  ) 2 |
結果計算
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42
|
-10.5
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110.25
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(1) =
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46
|
-6.5
|
42.25
|
|
46
|
-6.5
|
42.25
|
(2) ( )2=550
|
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50
|
-2.5
|
6.25
|
|
50
|
-2.5
|
6.25
|
(3)S2=
|
|
56
|
3.5
|
12.25
|
|
62
|
9.5
|
90.25
|
(4)S=8.29
|
|
68
|
15.5
|
240.25
|
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合計
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420
|
0
|
550
|
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|
標準差在實際中有廣泛的用途，同時對深化研究數(shù)據(jù)也具有重要的作用。如不同班級考試成績的平均數(shù)和標準差，不同年度或不同學科測驗分數(shù)的平均數(shù)和標準差，以及其他體能測試或心理測驗數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差，就是一些具體的應用。后續(xù)各章內容的學習，將經常用到平均數(shù)、標準差和方差這些概念。
由于標準差計算公式結構適合于代數(shù)處理，因此，許多具有統(tǒng)計功能的計算器，都有計算方差和標準差的相應功能。學習者只要花少量時間學習與掌握有關計算器的使用，即可以輕松自如地處理大量數(shù)據(jù)，求取平均數(shù)和標準差。
在利用公式（2-5）手工求標準差時,如表2-２所示，由于平均數(shù)有小數(shù)，這使計算離差平方的數(shù)據(jù)更加復雜,小數(shù)點的位數(shù)加倍增加，同時四舍五入的計算誤差以及出錯的可能性都有所增加。為克服這個弊病，我們可從公式（2-5）出發(fā),通過代數(shù)演算，推導出另一個與公式（2-5）等價的新公式，即公式（2-6）。這一新公式對計算標準差來講，不用通過計算平均數(shù) 以及離差平方和，用原始數(shù)據(jù)直接計算標準差，因而在許多情況下，具有更簡便、準確的特點。其計算公式：
式中： 是原始數(shù)據(jù)的平方和；實際上是平均數(shù)的平方。
下面，舉個例子來說明公式的應用。
[例8]?。肺辉u委對某一歌手的演唱評分結果如表2-3中第1欄所示，試確定這７位評委評分的差異程度（用標準差表示）。
[分析解答] 如果所有評委對某一歌手的評分一致性很高，這說明大家所評的分數(shù)差異程度小，因而，用標準差來衡量的話，其值一定較小。根據(jù)表2-3第1欄中原始數(shù)據(jù),我們采用上述公式（2-6），從原始數(shù)據(jù)出發(fā)直接計算標準差,整個計算過程如表2-3中的其他各欄目所示。
表2-3 用原始數(shù)據(jù)直接計算標準差的示例
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分數(shù)Xi
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計算過程 |
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8
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64
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（1）n=7,
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7
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49
|
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9
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81
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（2） =400
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6
|
36
|
|
5
|
25
|
（3）S2=
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|
8
|
64
|
|
9
|
81
|
（4）S=
|
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合計
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52
|
400
|
|
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標準差這個特征量數(shù)對于完整、全面地認識數(shù)據(jù)分布特點是重要的，特別是遇到比較兩個次數(shù)分布時,我們不僅要從集中趨勢的角度而且還要從離中趨勢的角度去分析比較。但上述的標準差量數(shù)并不是在任何情況下都可以直接應用，特別是下面兩種情形，就不好直接使用上述具有單位的絕對意義的標準差量數(shù)。其一，兩個次數(shù)分布的數(shù)據(jù)在測量單位上是不同的。例如，測量身高用“厘米”作單位，測量體重用“千克”作單位,則這兩種數(shù)據(jù)分布的標準差量數(shù)不能直接比較。再如，男生的身高用“米”作單位，女生的身高用“厘米”作單位，則男女生身高數(shù)據(jù)的標準差也不能比較。其二，在一些特別場合下，盡管兩組數(shù)據(jù)的測量單位相同，但兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差太大，則這兩組數(shù)據(jù)的標準差量數(shù)一般也不宜直接比較。例如，研究幼兒園大班小朋友的體重差異程度（用“千克”作單位）和離退休職工體重差異程度（也用“千克”作單位）。盡管所用單位相同，但由于來自這兩個特殊群體的體重測量數(shù)據(jù)，在數(shù)量上存在很懸殊的差異,因而，可以想象，離退休職工的平均體重遠遠大于幼兒園大班小朋友的平均體重。此時若用上述的標準差量數(shù)來比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度，是不夠合理的。針對上述兩種情況，下面引進差異系數(shù)。
二、差異系數(shù)
差異系數(shù)是把標準差量數(shù)和平均數(shù)量數(shù)兩相對比后所形成的相對差異量數(shù)。差異系數(shù)又稱為變異系數(shù)和變差系數(shù)，用符號CV 來表示。差異系數(shù)計算公式是：
(2-7)
式中：S 表示一組數(shù)據(jù)的標準差； 表示該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。
注意到公式（2-7）中的標準差S和平均數(shù) 具有統(tǒng)一的測量單位，因而，差異系數(shù)是一種反映相對離散程度的系數(shù)，即相對差異量數(shù)。它消去了單位，因而，適合于不同性質數(shù)據(jù)的研究與比較。
[例9] 某城市調查10歲男童的身高與體重的發(fā)展情況 ，得到表2-4資料。試問：10 歲男童在身體發(fā)展變化方面究竟是身高的差異程度大，還是體重的差異程度大？
表2-4 某市10歲男童身高、體重調查資料
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變 量
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單 位
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平均數(shù)
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標準差S
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身高
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厘米
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135.1
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5.5
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體重
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千克
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28.1
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3.4
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[分析解答] 本例身高數(shù)據(jù)單位是“厘米”，而體重數(shù)據(jù)的單位為“千克”，因而，這兩種變量的平均數(shù)之間以及標準差之間是不能直接比較的。要判斷10歲男童究竟在身高方面差異程度大，還是體重方面差異程度大，需要從相對差異量數(shù)出發(fā)進行判斷。根據(jù)上述差異系數(shù)計算公式（2-7）,分別計算10歲男童在身高與體重方面的差異系數(shù)：
CV身高
CV體重
由于CV 體重明顯大于CV 身高，因此，我們有理由認為，就10歲男童來看,體重方面的差異程度比他們在身高方面的差異程度大得多。
