在推進(jìn)與深化課程改革的今天，一線教師對新課程所倡導(dǎo)的教育教學(xué)理念可謂“耳熟能詳”。但反觀課堂教學(xué)，卻發(fā)現(xiàn)仍有部分教師口頭上是“新理念”，但行為上卻是“舊方法”，或者是形式上的“新理念”。不能將新課程理念轉(zhuǎn)化為教學(xué)行為的因素很多，但其核心是缺少對新理念內(nèi)涵的深入解讀，即是處于一種“有理念沒概念”的層面。因此，深化課程改革，實(shí)現(xiàn)有效的課堂教學(xué)要將“理念轉(zhuǎn)化為概念，概念轉(zhuǎn)化為行為”。

倡導(dǎo)“做數(shù)學(xué)”，在“做”的過程中掌握基本知識與技能，體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué)的思想方法，并學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，進(jìn)而感受到數(shù)學(xué)的神奇魅力與應(yīng)用價(jià)值等是數(shù)學(xué)課程改革的重要目標(biāo)。但需要追問的是：

我們真地理解小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的基本概念嗎？什么叫“理解”？

什么是“做數(shù)學(xué)”？“做”是否有不同的層次？

什么是數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵？小學(xué)階段如何滲透數(shù)學(xué)的思想方法？

如何讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn)？

本文將以筆者在教學(xué)中所積累的“小故事”為例來分析如何將理念轉(zhuǎn)化為概念，如何將概念轉(zhuǎn)化為行為，真正實(shí)現(xiàn)有效的課堂教學(xué)。

案例一：“我是數(shù)鴨子數(shù)出來 的”

四則運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，也是核心內(nèi)容。加減法幾乎成為每一個(gè)人的常識。但也正由于這種“常識性”，使得作為成人的教師往往按照成人的思維習(xí)慣來看待學(xué)生的學(xué)習(xí)，既使學(xué)生不能獲得基本的知識、技能，又使學(xué)生遭遇學(xué)習(xí)過程中的人為障礙，從而逐步對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭惡。下面是一位教師在教學(xué)一年級“加法的初步認(rèn)識”時(shí)的教學(xué)片斷。

教學(xué)片斷：認(rèn)識加法。

（為了認(rèn)識加法，上課教師在課前有一個(gè)游戲：左手拿3塊糖，右手拿2塊糖，然后“合并”起來，讓學(xué)生猜猜教師手里一共有多少塊糖。學(xué)生一起數(shù)一數(shù)，教師強(qiáng)調(diào)“合在一起”“一共”等詞語，然后正式上課）

第一個(gè)情境（用動(dòng)畫演示）：大樹上有2只小鳥，然后又飛來一只小鳥，現(xiàn)在大樹上有幾只小鳥？

（畫面上有3只小鳥）

學(xué)生重復(fù)該問題，教師強(qiáng)調(diào)“兩部分合起來”一共有多少就用加法計(jì)算，并列算式為：2＋1＝3。

教師進(jìn)一步提問：“2”表示什么？“1”表示什么？“3”表示什么？并進(jìn)一步抽象出：已知一部分和另一部分，求整體是多少就用加法計(jì)算。教師用手勢進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“部分”與“整體”。

第二個(gè)情境（用動(dòng)畫演示）：池塘里有3只鴨子，然后又游過來2只鴨子，現(xiàn)在有多少只鴨子？

（畫面上有5只鴨子）

學(xué)生列出算式：3＋2＝5。

師：為什么用加法？

生：因?yàn)楸緛砭褪羌臃ā?/span>

生：因?yàn)橛钟蝸砹?/span>2只。

生：要是用減法，就表示2只鴨子游走了。

教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)求“一共”有多少只，就是合并起來（手勢）有多少，要用加法計(jì)算。

師：要是沒有這個(gè)圖，你能知道2＋3為什么等于5嗎？

生：就好比馬路上有車，或其他的物體也行。

（師沒有讓他繼續(xù)說下去）

生：我是數(shù)鴨子數(shù)出來的。

生：就用口算。

師：再想想5可以分成幾和幾？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生終于知道了“因?yàn)?/span>5可以分成3和2，所以2＋3＝5”。然后教師讓學(xué)生再“這樣”說了兩遍。

第三個(gè)情境：教師同時(shí)出示兩幅圖片，左邊圖片上有1個(gè)梨，右邊圖片上有3個(gè)梨。

師：看到這幅圖，你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？

生：原先有1個(gè)梨，再拿來2個(gè)梨，現(xiàn)在有3個(gè)梨。

師：（糾正）左邊有1個(gè)梨，右邊有3個(gè)梨，合起來一共有多少個(gè)梨？

學(xué)生列算式計(jì)算，教師再追問“1+3”為什么等于4。

在教師引導(dǎo)下，通過數(shù)的組成與分解來說明“1+3”為什么等于4。

診斷與分析

一、什么是加法：現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)化

“加法”不就是求“兩部分合起來一共有多少”嗎？但為什么在上述教學(xué)中當(dāng)出示第三個(gè)情境時(shí)，學(xué)生說“原先有1個(gè)梨，再拿來2個(gè)梨，現(xiàn)在有3個(gè)梨”？學(xué)生并沒有說“左邊有1個(gè)梨，右邊有3個(gè)梨，合起來一共有多少個(gè)梨”。

美國學(xué)者富森指出，正整數(shù)加減法的現(xiàn)實(shí)意義主要包括以下幾方面：（1）聚合；（2）比較；（3）增加性變化；（4）減少性變化。在現(xiàn)實(shí)意義中，這四種情境之間存在重要區(qū)別：前兩者所反映的是兩個(gè)數(shù)量之間的靜態(tài)關(guān)系（即二元靜態(tài)關(guān)系），后兩者所涉及的則是同一數(shù)量的變化，從而就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程（即一元?jiǎng)討B(tài)變化）。無論是二元靜態(tài)關(guān)系還是一元?jiǎng)討B(tài)變化，他們所對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式都是相同的，例如，2+3=5，既可以表示池塘里原來有2只鴨子，后來又游過來3只鴨子，問現(xiàn)在池塘里有多少只鴨子；也可以表示盤子里有2個(gè)蘋果，盤子以外有3個(gè)蘋果，問一共有多少個(gè)蘋果。這是最基本的“數(shù)學(xué)化”。

上述教學(xué)片斷顯然只是關(guān)注了“加法”的動(dòng)態(tài)模型，即只是一個(gè)量隨時(shí)間順序上的“增加”，而忽視了加法的“靜態(tài)”模型，即“兩個(gè)并列部分合并起來”，尤其當(dāng)兩部分不是同一類事物求“和”時(shí)，學(xué)生理解起來更有困難。例如，小紅有5個(gè)蘋果，小明有3個(gè)梨，他們兩人一共有多少個(gè)水果？當(dāng)進(jìn)行兩種水果的個(gè)數(shù)比較時(shí)，學(xué)生理解的難度更大——需要抽象，即只關(guān)注水果的個(gè)數(shù)而忽視其他物理屬性。

教學(xué)中出現(xiàn)這樣的現(xiàn)狀（只強(qiáng)調(diào)動(dòng)態(tài)模型）與富森的研究結(jié)果一致，他在美國也發(fā)現(xiàn)，無論就教材還是就教師的實(shí)際教學(xué)工作，人們所強(qiáng)調(diào)的往往是動(dòng)態(tài)意義。又因?yàn)閯?dòng)態(tài)意義恰好與實(shí)際的計(jì)算過程相呼應(yīng)，從而也就十分容易為學(xué)生所接受。

但恰恰相反，理解“運(yùn)算”，我們必須注意運(yùn)算的各種豐富的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在各種不同情境中逐步辨別抽象出“數(shù)學(xué)模型”，然后才能進(jìn)一步去掉現(xiàn)實(shí)情境抽象出“數(shù)學(xué)模型”。從抽象的數(shù)量關(guān)系的角度看，上述問題就只涉及三個(gè)量，可以以其中的任意兩個(gè)量作為已知量而去求第三個(gè)量。例如，兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個(gè)數(shù)是幾？當(dāng)然這樣的抽象過程應(yīng)隨著學(xué)生年齡的增加而逐步實(shí)現(xiàn)，在小學(xué)低年級的重要工作是提供大量的、具有豐富意義的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中逐步（到中高年級）實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”。

二、“我是數(shù)鴨子數(shù)出來的”

“2+3”為什么等于5？是因?yàn)?#8220;5可以分成3和2，或者2和3可以組成5”嗎？學(xué)生在計(jì)算時(shí)經(jīng)歷怎樣的思維過程？我們是否把成人的思維方式強(qiáng)加給學(xué)生了？

由于成人進(jìn)行加減計(jì)算時(shí)幾乎成了一種自動(dòng)化的行為，容易對學(xué)生在學(xué)習(xí)加減計(jì)算過程中的思維活動(dòng)、特別是所經(jīng)歷的思維發(fā)展過程認(rèn)識不足，要么忽視其思維過程，要么將自認(rèn)為的“理由”強(qiáng)加給學(xué)生。

為此，富森指出，學(xué)生對于加減法的概念結(jié)構(gòu)主要有兩種：

1、單一性概念結(jié)構(gòu)。

單一性概念結(jié)構(gòu)主要指在計(jì)算時(shí)主要涉及一個(gè)計(jì)算單位。例如，20以內(nèi)的加減法，它的運(yùn)算對象只有一個(gè)計(jì)數(shù)單位“一”。雖然計(jì)算結(jié)果會出現(xiàn)計(jì)數(shù)單位“十”，但“十”并沒有作為獨(dú)立的計(jì)數(shù)單位再進(jìn)一步計(jì)算。例如，沒有涉及2個(gè)“十”與3個(gè)“十”的“和”或“差”。

富森又進(jìn)一步將“單一性概念結(jié)構(gòu)”細(xì)化為三個(gè)階段，或者說三個(gè)水平。

第一階段：兒童主要借助于“實(shí)物”，將合并在一起的“實(shí)物”從“1”開始數(shù)起。例如，在本教學(xué)過程中，為什么是5只鴨子呢？學(xué)生就是一只鴨子數(shù)1、指著另一只鴨子數(shù)2……一直數(shù)到5，從而得出結(jié)果是“5只鴨子”，即學(xué)生的回答：“我是數(shù)鴨子數(shù)出來的。”

第二階段：簡化的計(jì)數(shù)過程。

在這一階段，兩數(shù)相加的和仍是“數(shù)”出來的，只不過兒童已經(jīng)有了進(jìn)一步的發(fā)展，他們不再是從“1”數(shù)起，而是從第一個(gè)加數(shù)開始，繼續(xù)數(shù)下去。例如，6+3=9，兒童的計(jì)算過程就是繼續(xù)數(shù)7、8、9，數(shù)三個(gè)就結(jié)束，所以6+3=9。

在繼續(xù)數(shù)的過程中，兒童也容易出錯(cuò)。例如，筆者曾經(jīng)親歷剛上小學(xué)的一個(gè)孩子曾經(jīng)連續(xù)三周出錯(cuò)：6+3=8。教師一直認(rèn)為是孩子馬虎。到第三周時(shí)，她仍然計(jì)算6+3等于8。于是問她：“對嗎？”她馬上就能正確地改正。這一次問她：為什么你總是6+3等于8呢？她伸出小手掰著手指（說一個(gè)數(shù)就彎下一根手指）說：“老師，不就是6、7、8嗎？就是等于8，可你們非說等于9。”

第三個(gè)階段：利用已知事實(shí)計(jì)算結(jié)果。

這個(gè)階段的主要特點(diǎn)是學(xué)生在計(jì)算時(shí)會利用已知的事實(shí)。例如學(xué)生計(jì)算9+7，若其過程為9+7=(9+1)+6=10+6=16，這一計(jì)算過程顯然直接用到了9+1=10，10+6=16這些“事實(shí)”，即學(xué)生運(yùn)用“湊整”法進(jìn)行計(jì)算是思維的高級階段，這也是為什么新課程強(qiáng)調(diào)算法多樣化并逐步實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的原因所在。 在漢語中，由于“一音一字一意”，學(xué)生能夠很方便地利用“已知事實(shí)”，例如，“十一就是十加一”，而英語則不具有這樣的優(yōu)勢，例如，“11”叫“eleven”，是一個(gè)新單詞，而不是“ten-one”，因而我國小學(xué)生的計(jì)算速度快于英美等英語國家。

富森又明確指出，大多數(shù)學(xué)生可以自發(fā)地完成由第一階段向第二階段的轉(zhuǎn)變，特別地，第一個(gè)加數(shù)比較大，更有利于轉(zhuǎn)變。而在第三個(gè)階段，學(xué)生對數(shù)有更豐富的認(rèn)識，例如，7=6+1=5+2=4+3=8－1=9－2……建立了更多的聯(lián)系，從而才能表現(xiàn)出思維的更大靈活性，靈活計(jì)算是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的載體。同時(shí)富森又指出，這三個(gè)階段的劃分不是絕對的，學(xué)生處于哪個(gè)階段與其所面對的問題的表述形式以及問題中所包含的數(shù)量的大小有關(guān)，學(xué)生的具體處境也對其處于哪個(gè)階段有影響?？傊覀儾粦?yīng)該采取絕對的和靜止的觀點(diǎn)來看待這件事。

2、多單位概念結(jié)構(gòu)。

多單位概念結(jié)構(gòu)主要指運(yùn)算的對象即計(jì)數(shù)單位不僅僅是單一的“一”，而要涉及多個(gè)計(jì)數(shù)單位，例如，“十”“百”……

富森指出，形成多單位概念結(jié)構(gòu)即掌握豎式加減法計(jì)算的三個(gè)必要前提是：

（1）認(rèn)識到只有同一數(shù)位的數(shù)才能直接進(jìn)行加減；

（2）同一數(shù)位上的數(shù)的加減與個(gè)位數(shù)的加減完全相同；

（3）“進(jìn)位”與“退位”。

顯然，牢固掌握一位數(shù)的加減法是迅速和準(zhǔn)確地進(jìn)行多位數(shù)加減法的一個(gè)必要前提。因此“20以內(nèi)的加減法”是整個(gè)計(jì)算教學(xué)的核心。借助于漢語的優(yōu)勢，學(xué)生對其能夠達(dá)到自動(dòng)化的程度。

由此可以看出，對加減法的理解的核心仍是對“十進(jìn)位值制”的理解，加減法的核心是相同計(jì)數(shù)單位“個(gè)數(shù)”進(jìn)行“加”或“減”。

案例二：“不是汽車是水果”

學(xué)生在理解減法以及減法計(jì)算時(shí)可能會遇到很多學(xué)習(xí)加法時(shí)所沒有遇到的困難。但加減法也有其共性，即都是解決某類問題的“工具”，或者是對某類問題所抽象出的數(shù)學(xué)模型。因此，學(xué)習(xí)每一種運(yùn)算的意義就是經(jīng)歷一個(gè)“建模”的過程，即是一次“數(shù)學(xué)化”。但教學(xué)如何讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)“過程”？如何在該“過程”中對運(yùn)算有體驗(yàn)？下面是北京小學(xué)魏來紅老師在教學(xué)“減法的初步認(rèn)識”時(shí)所發(fā)生的故事：

教學(xué)片斷一：初步認(rèn)識減法。

教師先利用電腦動(dòng)畫設(shè)計(jì)了一個(gè)停車場的情境，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)信息并提出了問題：停車場原來有5輛小汽車，開走了2輛，停車場還剩幾輛小汽車？

學(xué)生很順暢地列出算式并計(jì)算，教師把算式板書在黑板上。

教學(xué)片斷二：進(jìn)一步理解減法。

教師請學(xué)生利用手中的學(xué)具，自己動(dòng)手“創(chuàng)作”一個(gè)用減法解決的問題，并列式解決。

（這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的目的是讓每個(gè)孩子都親歷減法意義的感知過程，并板書學(xué)生所出現(xiàn)的各種不同的減法算式，為后續(xù)觀察、比較、總結(jié)減法意義做素材準(zhǔn)備）

教學(xué)片斷三：匯報(bào)交流。

在交流匯報(bào)時(shí)發(fā)生了如下故事：一個(gè)小女孩到實(shí)物展臺前一邊演示“小水果”學(xué)具一邊介紹自己剛才的操作過程：“我本來有5個(gè)水果，送給同桌2個(gè)，我還剩幾個(gè)水果？我列的算式是5－2=3。”

話音剛落，一個(gè)男孩喊道：“怎么還是5－2=3啊？重復(fù)了！不能寫到黑板上。”

“我沒重復(fù)，這次不是汽車，是水果。”展臺前的女孩不服氣地為自己辯解。坐在下面的男孩竟站起來反駁道：“反正你的算式是5－2=3，還說不重復(fù)？”女孩一臉疑惑地看著教師。

教師請學(xué)生發(fā)表自己的看法，大部分學(xué)生同意男孩的看法，但也覺女孩說的有道理，辯論不出結(jié)果。

這時(shí)教師問：“你們還能想一個(gè)事情，也用5－2＝3來表示嗎？”于是孩子們思維活躍起來，編出了很多情境。例如：教室里有5個(gè)小朋友，走了2個(gè)，還剩下3個(gè)；草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，還剩下3朵；5支鉛筆，丟了2支，還剩3支……這時(shí)剛剛發(fā)完言的一個(gè)學(xué)生不肯坐下：“我還能說這樣的好多事呢，都可以用5－2＝3表示，5－2＝3的本領(lǐng)真大呀。”

教師繼續(xù)捅破“那層窗戶紙”：“為什么有的事情是發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里，有的說的是鉛筆，完全都不一樣的事兒，卻能用同一個(gè)算式來表示呢？”學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但它們所表示的意思都是一樣的，都是從5里面去掉2，剩下3，所以都用5－2＝3來表示。教師又問：“3＋6＝9可以表示的事情多不多？”這時(shí)候?qū)W生竟都不去舉具體的例子，他們脫口而出“那太多了”?？吹胶⒆觽円猹q未盡的樣子，教師問：“你現(xiàn)在有什么想法？”其中一個(gè)學(xué)生說：“我覺得數(shù)和算式都太神奇了，能表示那么多不同的事兒。”

診斷與分析

一、作為“模型”的減法

這是一個(gè)成功地診斷出學(xué)生爭論的本質(zhì)的案例，并很好地利用這一生成資源，讓學(xué)生質(zhì)疑、爭論、舉例。在教師及時(shí)、到位地“點(diǎn)撥”引導(dǎo)下，由于學(xué)生經(jīng)歷的過程非常充分，因而有學(xué)生能夠感悟出“數(shù)和算式都太神奇了”。

教師之所以能夠診斷出學(xué)生“爭論”的本質(zhì)，關(guān)鍵如前面的案例所述：減法也是解決某類問題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它關(guān)注的是抽象的數(shù)量關(guān)系而非現(xiàn)實(shí)意義，但學(xué)生真正經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”，必須在大量的現(xiàn)實(shí)情境中做出取舍、抽象和概括，只有經(jīng)歷了這個(gè)過程，學(xué)生才能真正理解減法的意義，進(jìn)而對數(shù)學(xué)才能有體驗(yàn)和感受。

進(jìn)行加減法的教學(xué)，其核心仍然是理解加減法的意義。學(xué)習(xí)加減法并非只是計(jì)算速度的快捷，更重要的：加減法是解決一類問題的重要模型。如果教師沒有這方面的認(rèn)識，就不能抓住教學(xué)中的生成。例如在案例一中，有學(xué)生說“就好比馬路上有車，或其它物體也行”，是否該學(xué)生想說的就是“3＋2＝5”不僅能解決“鴨子有多少只”，還可以解決“馬路上有多少汽車”或者其他的“求和”問題？由于教師并沒有將“加法是解決一類問題的模型”作為一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，因而教師就沒有抓住學(xué)生的生成。相反，在案例二中，由于教師認(rèn)識到“減法是解決一類問題的模型”，因此，課堂就能引導(dǎo)學(xué)生共同討論“水果是否等于汽車”，從而使學(xué)生體驗(yàn)到“算式真神奇”，這樣的教學(xué)就不單單是計(jì)算了，而是對計(jì)算意義的深刻理解，從而帶來學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極體驗(yàn)：算式真神奇！

二、“生成”資源的有效利用源自教師的“大教育觀”

弗賴登塔爾說：“我真想對他們（指數(shù)學(xué)教師）大喊一聲：‘請不要對學(xué)生正在做的事情橫加干涉！您唯一所能做的事情就是觀察，在一旁認(rèn)真地觀察和傾聽！’”

同樣的課堂“生成”事件，教師可能會有不同的處理方式，比如在這一故事中，教師也可以忽略學(xué)生的質(zhì)疑，簡單地以一句肯定性的話語“是同一個(gè)算式，我們就不寫在黑板上了”來結(jié)束學(xué)生的質(zhì)疑。兩種不同處理方式帶給學(xué)生的收獲是什么？

顯然學(xué)生失去了很好的機(jī)會來感悟“算式”的高度概括性，進(jìn)而也感悟不到數(shù)學(xué)的本性。如果長此以往，學(xué)生沒有機(jī)會經(jīng)歷這樣的“過程”，學(xué)生的“數(shù)學(xué)觀”會是什么樣?。慨?dāng)然，教師會問：都這樣“展開”，教學(xué)任務(wù)能完成嗎？確實(shí)，對于課堂教學(xué)中的“生成”事件，我們不能都這樣徹底地展開討論與辯論，是否展開討論是教師的“決策權(quán)力”，是否展開取決于教師的“數(shù)學(xué)觀”“數(shù)學(xué)教學(xué)觀”以及“學(xué)生觀”等一些內(nèi)隱的元素。

本案例中教師為什么會花時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行交流討論呢？顯然，“尊重學(xué)生、傾聽學(xué)生的發(fā)言、學(xué)生是課堂教學(xué)的主體”等“學(xué)生觀”深入該教師的“心”，這是該教師有效利用教學(xué)中的生成資源的必要條件。但有這一“必要條件”還不夠，（更何況這樣的學(xué)生觀并不是都“深入人心”，有的教師僅僅是處于“所倡導(dǎo)”的層面）還要看教師能否判斷出教學(xué)中的“生成”是否揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從現(xiàn)在開始能否反映數(shù)學(xué)思想方法？等等。這兩者缺一不可，而且通過大量的案例分析，我們似乎也可以得出這樣的結(jié)論：教師是否能夠有效地處理“生成”關(guān)鍵在于教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。因?yàn)?/span>有時(shí)學(xué)生的“語言”不能恰當(dāng)?shù)乇硎龀?#8220;思維過程”，因而容易使教師“誤解”學(xué)生。