定義弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. (弦切角就是切線與弦所夾的角）
證明
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證：.
證明：分三種情況：
（1） 圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑，AB切⊙O于A，
∴.
∵為半圓,
∴,
∴.
（2） 圓心O在∠BAC的內(nèi)部.
過A作直徑AD交⊙O于D,
那么
.
（3） 圓心O在∠BAC的外部,
過A作直徑AD交⊙O于D
那么
.
∴.
由弦切角定理可以得到：
推論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.
應用舉例
例1：如圖，在中，,,，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，求長.
解：連結(jié)OA，OB.
∵在中, ∠C=Rt∠
∴
∵ （弦切角定理）
∴
又∵AO=BO
∴為等邊三角形
∴AO=AB==
∴
例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).
求證：EF∥BC.
證明：連DF.
AD是∠BAC的平分線 ∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
證明：∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
