數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事- -

這篇文章在專業(yè)數(shù)學(xué)網(wǎng)站廣為流傳。不過，原來的文章里面充滿了英文人名和數(shù)學(xué)名詞術(shù)語和歷史掌故，還有一些于主題無關(guān)的段落。不但使其它專業(yè)的人讀起來費勁，就連一般院校的數(shù)學(xué)系學(xué)生讀起來也會感到吃力。 鑒于此，本人決定嘗試一下寫一篇通俗易懂的文章，向廣大網(wǎng)友介紹數(shù)學(xué)歷史上的牛人牛事，希望借此讓大家了解數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)的豐富多彩的內(nèi)涵。當(dāng)然，作者提到的那篇網(wǎng)絡(luò)長文的一些或者全部素材可能作為本文的參考資料。不過，本人知道，有些人一提到數(shù)學(xué)就頭痛，所以也沒有對人氣抱著多大希望 。本文算是東拉西扯信天游的性質(zhì)，可能介紹一段有趣的故事，也許是一個大家都了解的數(shù)學(xué)問題，也不知道何時能夠?qū)懲?，自己也沒有信心能堅持到底。

一 數(shù)學(xué)的發(fā)源地：古希臘

　　華人中最杰出的數(shù)學(xué)家陳省身最近去世了。在彌留之際，他一直在說："送我去希臘。"就像麥加是伊斯蘭的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一樣，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家心中的圣地就是希臘。古希臘群星璀璨，亞里士多德，蘇格拉底，阿基米德這樣的博學(xué)而又智慧的大家讓其它民族望塵莫及。有記載第一位哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家是泰勒斯，哲學(xué)是從泰勒斯開始的，他預(yù)言過一次日蝕，所以我們就很幸運地能夠根據(jù)這件事實來斷定他的年代；據(jù)天文學(xué)家說，這次日蝕出現(xiàn)于公元前585年。他第一次證明了在圓上，直徑所對應(yīng)的圓周角是90度，這也標(biāo)志這幾何學(xué)的誕生和證明的開始。希臘人中能產(chǎn)生那么多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，幾乎可以肯定的是那里的公民有辯論的自由，他們崇尚邏輯思維而不是崇尚武力。

　　畢達哥拉斯算是希臘數(shù)學(xué)家中的一個杰出的人物，他創(chuàng)立的有理數(shù)的概念至今對于一些受過高等教育的中國人還是一個難的東西。說它難，其實不難，關(guān)鍵是學(xué)習(xí)知識太功利，徹底搞清這個概念遠遠比背誦一段政治容易。我上【高等數(shù)學(xué)】課時，幾乎年年有人問我："老師，學(xué)習(xí)這個有什么用？"希臘的歐幾里德碰到誰問他這個問題，從兜里拿出一個硬幣，告訴仆人："把這個硬幣給他，他問學(xué)幾何有什么用，學(xué)幾何不能賺錢，讓他拿這個硬幣走吧！"

　　畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關(guān)于他的傳說幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳說的最單純最少爭論的形式里，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學(xué)。他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂的輪回和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現(xiàn)為一種宗教團體，這一教團到處取得了對于國家的控制權(quán)并建立起一套圣人的統(tǒng)治。但是未經(jīng)改過自新的人渴望著吃豆子，于是就遲早都反叛起來了。

　　畢達哥拉斯教派有一些規(guī)矩是：

1．禁食豆子。
2．東西落下了，不要揀起來。
3．不要去碰白公雞。
4．不要擘開面包。
5．不要邁過門閂。
6．不要用鐵撥火。
7．不要吃整個的面包。
8．不要招花環(huán)。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房里不許有燕子。
13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁邊照鏡子。
15．當(dāng)你脫下睡衣的時候，要把它卷起，把身上的印跡摩平。

　　畢達哥拉斯在代數(shù)上的主張是認為數(shù)是萬物之源，并且認為一切數(shù)都能寫成兩個自然數(shù)相除的形式。畢達哥拉斯的在幾何上最偉大的發(fā)現(xiàn)，或者是他的及門弟子的最偉大的發(fā)現(xiàn)，就是關(guān)于直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等于另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經(jīng)知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是第一個給出嚴格證明的卻是畢達哥拉斯，因此這個定理也被冠以他的名字。這個定理在中國被稱作勾股定理，不過至今沒有得到廣泛的承認。

　　然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(shù)(無理數(shù))的發(fā)現(xiàn)，這似乎否定了他的全部哲學(xué)。他的一個學(xué)生用畢達哥拉斯定理證明了：當(dāng)正方形的邊長是1時，對角線長度不能用任何兩個整數(shù)相除來表示，也就是說不是有理數(shù)。這剛好否定了畢達哥拉斯關(guān)于數(shù)的存在都是有理的（rational）的想法，這個學(xué)生的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了他的喪命：被教眾拋進了大海。這次事件被稱作數(shù)學(xué)歷史上的第一次危機，它否定了一切數(shù)都是有理數(shù)的結(jié)論。直到18－19世紀(jì)，關(guān)于微積分嚴格性的討論才對第一次數(shù)學(xué)危機給出了解答。

　　　二 不懂幾何者不許入內(nèi)和阿基米德的裸奔

　　現(xiàn)在中學(xué)生學(xué)習(xí)的平面幾何，都是來源于兩千多年前的一本奇書：《幾何原本》，它是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽杰作，是當(dāng)時整個希臘數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的結(jié)晶，其內(nèi)容和形式對幾何學(xué)本身和數(shù)學(xué)的發(fā)展有著不可估量的影響。自它問世之日起，在長達二千多年的時間里一直盛行不衰。它歷經(jīng)翻譯和修訂的次數(shù)更是不勝枚舉，自1482年第一個印刷本出版以來，至今已有一千多種不同的版本。除了《圣經(jīng)》之外，沒有任何著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原本》卻有著超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，是《圣經(jīng)》所無法比擬的?！稁缀卧尽返南ＥD原始抄本現(xiàn)在已經(jīng)流失了，它的所有現(xiàn)代版本都是以希臘評注家泰奧恩編寫的修訂本為依據(jù)的。《幾何原本》的泰奧恩修訂本分13卷，總共有465個命題，其內(nèi)容是闡述平面幾何、立體幾何及算術(shù)理論的系統(tǒng)化知識。

　　《幾何原本》對于數(shù)學(xué)的影響是不可估量的，它是人類歷史上第一次采用公理化的體系來討論數(shù)學(xué)。就是先假定一些命題是不加證明而認可的，所有的定理和結(jié)論都是建立在這些公理的邏輯演繹之上。至今中學(xué)生所學(xué)的平面幾何和立體幾何都沒有超出《幾何原本》的范圍，因此可以說這是對人類思想影響最遠的數(shù)學(xué)書?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化方法都是來源于歐幾里德的這本書《幾何原本》。

　　古人學(xué)習(xí)幾何更是困難，據(jù)說當(dāng)學(xué)到‘一個等腰三角形的兩個底角相等'這個定理時，好多人就無論怎樣都學(xué)不會了，因此這個定理又叫‘驢子的梯子'，指它難住了一大批人。直到現(xiàn)在，平面幾何的一些知識或者立體幾何的一些定理仍然難住了一大批人，大概學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要一些天賦吧。因此當(dāng)國王多祿米向歐幾里德討教學(xué)習(xí)幾何的捷徑時，歐幾里德告訴他："在幾何里面，沒有為國王提供的捷徑。"

　　在數(shù)學(xué)上，古希臘人提出"三大問題"：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。這類問題直到近代群論的出現(xiàn)，才得以得到解決，這三個問題都是不可解的。

　　阿基米德就是學(xué)習(xí)《幾何原本》的學(xué)生中最杰出的一位。他11歲便離開家鄉(xiāng)到當(dāng)時希臘文化中心的亞歷山大城去學(xué)習(xí)《幾何原本》，按輩份他應(yīng)該是歐幾里德的徒孫。他在數(shù)學(xué)和物理上所創(chuàng)造的奇跡使他成為人類歷史上最杰出的科學(xué)家。一個著名的故事是：敘拉古的亥厄洛國王委托金匠造一頂純金的皇冠，但是懷疑里面被摻了銀子，當(dāng)然不可能通過把皇冠割開來檢驗這個王冠，于是便請阿基米德鑒定一下。一次當(dāng)他洗澡時正在冥思苦想，這時水漫溢到盆外，于是悟得不同質(zhì)料的物體，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水也必不相等。根據(jù)這一道理，就可以判斷皇冠是否摻假。阿基米德高興得跳起來，赤身奔回家中，口中大呼："尤里卡！尤里卡！"（我發(fā)現(xiàn)了），于是便開始在大街上裸奔起來了，一直跑到家里。

　　他在數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造更是數(shù)不勝數(shù)，阿基米德螺線，拋物線上的弓形求面積方法含有現(xiàn)代積分思想，求圓的面積，球的表面積和體積的公式，圓周率的求法和誤差估計，等等，直到現(xiàn)在，全世界活著的人中，至少還有百分之六十的人數(shù)學(xué)知識比不上兩千年前的阿基米德。

　　阿基米德的死也具有傳奇色彩，甚至可以編成一部精彩的電影。公元前212年，羅馬軍隊攻入敘拉古，并闖入阿基米德的住宅，他們看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形，士兵們將沙盤踩壞。阿基米德怒斥士兵："不要弄壞我的圖！"士兵拔出短劍，刺死了這位曠世絕倫的大科學(xué)家，阿基米德竟死在愚蠢無知的羅馬士兵手里。還有一個版本是他死前說的話是："讓我做完最后一道題。"

　　關(guān)于阿基米德在數(shù)學(xué)史上的地位，美國的數(shù)學(xué)史學(xué)家E.T.貝爾在《數(shù)學(xué)人物》上是這樣評價阿基米德的："任何一張開列有史以來三位最偉大的數(shù)學(xué)家的名單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。不過以他們的宏偉業(yè)績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠來比較，還應(yīng)首推阿基米德。"

　　　三 牛頓時代就有馬甲

　　從古希臘數(shù)學(xué)到近代微積分的產(chǎn)生，中間經(jīng)歷了漫長的停滯不前的年代。期間，各國都產(chǎn)生了一些杰出數(shù)學(xué)家和一些成果，但是這些成果都是零星的非本質(zhì)的。期間中國最引以自豪的數(shù)學(xué)家是祖沖之，他計算出圓周率到小數(shù)點后7位。

　　在十七世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)知識的火山似乎在一夜之間爆發(fā)了。其中以微積分為代表的變量數(shù)學(xué)徹底改變了人們的數(shù)學(xué)思想和方法，解決了物理上提出的大量問題，并且給出了用傳統(tǒng)方法想都不敢想的問題的解法。在微積分發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)的爭執(zhí)上，英國數(shù)學(xué)家和大陸數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了嚴重糾紛。牛頓于是用了好多編造的名字來‘證明'萊布尼茨的知識不是原創(chuàng)而是抄襲牛頓的。其言辭之尖刻、辱罵之惡毒令人難以想像。萊布尼茨死后，牛頓還津津樂道的向別人講述怎樣用馬甲使萊布尼茨傷透了心，并沾沾自喜。

　　這個時代，法國的貝努力（Bernoulli）家族是一個數(shù)學(xué)家族，三代出現(xiàn)了十多位杰出的數(shù)學(xué)家。 這個家族人的脾氣都不太好，最奇怪的他們是開始都不是從事數(shù)學(xué)，可是到后來全部迷上了數(shù)學(xué)。父親因為兒子得了數(shù)學(xué)大獎，嫉妒之下竟然一腳從窗戶把兒子踹到了室外。

　　1696年，約翰.貝努力（ John Bernoulli）在《教師學(xué)報》的雜志上面提出最速降線問題，公開針對他的哥哥雅克比.貝努力（Jacobi.Bernoulli）,這兩個人在學(xué)術(shù)讓一直相互不忿，據(jù)說當(dāng)年約翰求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年還認為懸鏈線應(yīng)該是拋物線，實在是很沒面子。那個雜志是萊布尼茨主辦的，影響很大，歐洲的所有杰出數(shù)學(xué)家都嘗試這來做這個問題。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，萊布尼茨的,還有一個羅必達侯爵的 ，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是蓋著英國郵戳匿名的。

　　這個問題陳述起來很簡單，就是平面上有兩個點A，B，這兩個點連線既不是水平也不是垂直，試尋找連接這兩個點的曲線，使得靠自身重力的一個小球能用最快時間從這點滑到那點（摩擦阻力不計）。

　　據(jù)說當(dāng)年牛頓已經(jīng)從科學(xué)第一線退了下來，攬到了皇家造幣廠廠長的肥缺。勞累了一天以后，回家在壁爐前看到了貝努力的題，，熬夜到凌晨4點，就搞定了。貝努力看到這個匿名送來的答案，說道："我看到了獅子露出來了利爪。"在這么多解答當(dāng)中，約翰的應(yīng)該是最漂亮的，類比了費馬光學(xué)原理作了出來，用光學(xué)一下做了出來。但是從影響來說，弟弟的做法真正體現(xiàn)了變分思想。 這個思想是把每條曲線看作一個變量，進而在每條曲線上所用時間便是曲線的函數(shù)，這就是泛函。類似于微積分求最大最小值的辦法，把微積分推廣到一般函數(shù)空間去，這就是【變分法】。不過變分法真正成為一門理論還要屬于約翰的弟子歐拉和法國的拉格朗日。

　　貝努力一家在歐洲享有盛譽，有一個傳說，講的是丹尼爾.貝努力（Daniel Bernoulli，他是約翰.貝努力的兒子）有一次正在做穿越全歐洲的旅行，他與一個陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹："我是丹尼爾 .貝努力。"那個人當(dāng)時就怒了，說："我是還是伊薩克.牛頓呢。"從此之后在很多的場合丹尼爾都深情的回憶起這一次經(jīng)歷，把他當(dāng)作他曾經(jīng)聽過的最衷心的贊揚。

　　牛頓去世后，有人寫詩贊美他：

宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里
神說：讓牛頓降生吧
于是一切都成了光明。

　　貝努力家族對數(shù)學(xué)最大的貢獻還不是在數(shù)學(xué)本身，而是發(fā)現(xiàn)了歐拉。

　　　四 數(shù)學(xué)英雄歐拉（Euler）

　　要問在歷史上這些數(shù)學(xué)家中我最佩服誰，那肯定是歐拉。

　　歐拉小學(xué)就被開除了，因為他問的問題太多，給老師太多的難堪。有人說歐拉是先會算術(shù)后會說話的，高斯也是這樣，高斯一歲時就能發(fā)現(xiàn)父親賬本上計算的錯誤，不過這肯定是傳說。但是歐拉很小就知道等周原理：在周長固定的所有圖形，面積最大的一定是圓。

　　大名鼎鼎的約翰.貝努力是歐拉父親的朋友，第一次見到六歲的歐拉就被歐拉問住了："我知道一個數(shù)6，它有因數(shù)1，2，3，6，加起來是6的2倍；還有一個數(shù)28，有因數(shù)1，2，4，7，14，28，加起來也是28的2倍，還有多少這樣的數(shù)？"這類數(shù)叫做完全數(shù)，還是歐拉，最終給出了偶數(shù)完全數(shù)的表達式，那是后來的事情了。對于奇數(shù)的情形，誰要是能正確證明有或者沒有，現(xiàn)在肯定能拿到數(shù)學(xué)最高獎。歐拉17歲獲得了瑞士巴賽爾大學(xué)的碩士學(xué)位，歐拉太專注數(shù)學(xué)，以至于貝努力不得不規(guī)定，吃飯時間不許看書。他19歲時被俄羅斯卡德琳娜女王邀請到彼得堡科學(xué)院從事研究。

　　歐拉解決的問題實在太多了，解決問題過程中創(chuàng)造出的方法不知開創(chuàng)了多少個數(shù)學(xué)分支。歐拉因為解決著名的七橋問題開創(chuàng)了拓撲學(xué)，歌德巴赫猜想是因為歌德巴赫和歐拉的通信而出名的。任何一個正整數(shù)都一定能寫成不超過四個平方數(shù)之和是歐拉最早證明的，這可是將近兩千年無人解決的問題。數(shù)論，幾何，力學(xué)，天體力學(xué)，到處留下歐拉的足跡。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的符號和表達式，如三角，指數(shù)，e，i，π 等等，都是歐拉創(chuàng)立的。歷史上第一本流行的微積分教科書也是歐拉寫的。后來所有的微積分教科書，或者是抄襲歐拉的，或者是抄襲抄襲歐拉的。

　　歐拉研究數(shù)學(xué)，就像人在呼吸，鳥在飛翔一樣自由和自在。

　　歐拉早就發(fā)現(xiàn)了‘變分法'可是當(dāng)他發(fā)現(xiàn)法國人拉格朗日也有這類思想時，就把自己的藏起來不發(fā)表，把出名的機會留給年輕人。

　　歐拉由于看書過多，年輕時就瞎了一只眼睛，到59歲時，他的左眼也逐漸失明了。正當(dāng)他搶在完全失明前搶救資料時，一場大火燒毀了他的一切資料。

　　歐拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。

　　歐拉的兩個學(xué)生因為計算一個無窮級數(shù)答案不一樣發(fā)生爭執(zhí)，失明的歐拉用心算找出了小數(shù)點后第50位的錯誤，結(jié)果證明這兩個學(xué)生都算錯了。這就是歐拉。


　　　五 業(yè)余高手（1）

　　在當(dāng)今日益專業(yè)話的分工下，無論是競技項目還是專業(yè)領(lǐng)域，業(yè)余愛好者也許永遠達不到專業(yè)人員的水平。就拿圍棋為例，每年中國的專業(yè)vs業(yè)余最高對抗賽，盡管專業(yè)棋手讓兩個子，可是業(yè)余棋手還是幾乎全軍覆沒,象棋領(lǐng)域也大概如此。不過韓國圍棋高手劉昌赫曾經(jīng)是業(yè)余棋手，但最后達到了專業(yè)超一流棋手的水平。象棋全國冠軍陶漢明曾經(jīng)是業(yè)余棋手起家，曾經(jīng)取得過全國亞軍的金波也是業(yè)余棋手。不過這些只是極端個別的例子。

　　在數(shù)學(xué)發(fā)展起步時期，業(yè)余數(shù)學(xué)家取得了驕人的成績。依我看，費爾馬（Femart）應(yīng)該是自古以來沒有與之相比的，估計今后也不會有超越他的業(yè)余數(shù)學(xué)家了。費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的業(yè)余數(shù)學(xué)家，他最初學(xué)習(xí)法律并以當(dāng)律師謀生，后來成為議會議員，數(shù)學(xué)只不過是他的業(yè)余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認真注意數(shù)學(xué)，但費馬對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻。費馬提出了光線沿最快的路徑行進的原理，進而揭示了隱藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原來只有服從折射定律，才能保證光線從一點到達另一點用的時間最短。費馬在數(shù)論上為我們留下了大量的定理和猜想，其中相當(dāng)一部分未給出證明。挑選這些‘定理'中最有趣的兩個給大家介紹一下。

　　費爾馬猜測，形如 2^(2^n)+1（這里符號‘^'表示冪，如4^2=16）的數(shù)都是素數(shù)，這類數(shù)成為費爾馬數(shù)。對于n＝0，1，2，3，4，經(jīng)過驗證果然如此。不過對于n＝5，歐拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素數(shù)。有趣的對于其它的n，至今沒發(fā)現(xiàn)一個費爾馬數(shù)是素數(shù)。

　　下面說說著名的‘費馬大定理'：那是費馬去世后，人們整理他留下的筆記發(fā)現(xiàn)的。費馬熱衷于不定方程的研究。我想能夠堅持讀本文的讀者應(yīng)該都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，這類數(shù)叫做勾股數(shù)（國際上叫畢達哥拉斯數(shù)），這類數(shù)究竟是怎樣構(gòu)造出來的，古希臘時期已經(jīng)給出了完整的答案：如果x是偶數(shù)，且x和y沒有公因數(shù)，那么必然有有一奇一偶兩個正整數(shù)a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b沒有公因數(shù)。費爾馬在閱讀一本書叫做【丟番圖方程】里面關(guān)于勾股數(shù)這部分時，在旁邊寫到：把一個整數(shù)的立方寫成兩個整數(shù)的立方之和，把一個整數(shù)的四次方寫成兩個整數(shù)的四次方之和，等等，都是不可能的。我已經(jīng)找到了絕妙的證明，可惜這本數(shù)旁邊的空白處太少了，我寫不下來。

　　費爾馬這個沒有寫下來的證明，天曉得到底存在還是不存在，可是他的這段話是坑了不少人。歐拉和高斯試圖證明這個定理，最后都失敗了。一戰(zhàn)之前，曾經(jīng)有個德國人懸賞十萬馬克給第一個證明費爾馬大定理的人，一時許多業(yè)余高手都投入到這場獎金的爭奪中，但是沒有一個證明是正確的。一戰(zhàn)以后，德國馬克貶值，這筆獎金化作一堆廢紙。有人問大數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）為什么不試試證明這個定理，他說："這是只下金蛋的鵝，我為什么要殺掉它呢？"（意思是說這個定理能引誘好多人從事數(shù)學(xué)研究，不證明它更好。）

　　這個定理折磨了數(shù)學(xué)家整整三百年，直到1993年，一個叫懷爾斯的數(shù)學(xué)家用難以置信的方法給出了證明。1980年懷爾斯在劍橋大學(xué)取得博士學(xué)位后來到了美國普林斯頓大學(xué)，并成為這所大學(xué)的教授。從1986年開始，這家伙七年時間沒有發(fā)表任何論文，要是在中國他什么經(jīng)費和津貼都別指望了。1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀(jì)最重要的一次數(shù)學(xué)講座。兩百名數(shù)學(xué)家聆聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數(shù)式所表達的意思。演講者就是是安德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最后時刻的情景："雖然新聞界已經(jīng)刮起有關(guān)演講的風(fēng)聲，很幸運他們沒有來聽演講。但是聽眾中有人拍攝了演講結(jié)束時的鏡頭，研究所所長肯定事先就準(zhǔn)備了一瓶香檳酒。當(dāng)我宣讀證明時，會場上保持著特別莊重的寂靜，當(dāng)我寫完費馬大定理的證明時，我說：‘我想我就在這里結(jié)束'，會場上爆發(fā)出一陣持久的鼓掌聲。"因為他證明了這個大定理。不過說點題外的話，后來又發(fā)現(xiàn)他的證明有漏洞，又折磨了他一段時間，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。這個證明后來經(jīng)過精練，已經(jīng)縮短到130多頁，最初的證明有400多頁。懷爾斯一下子成了傳媒的寵兒和明星，這是數(shù)學(xué)家少有的拋頭露臉的機會，大概是費爾馬大定理的內(nèi)容通俗易懂而證明卻持續(xù)了300多年吧。

　　懷爾斯的故事告訴我們：中國目前高校搞急功近利的唯文章數(shù)量評價水平的作法，肯定不會出現(xiàn)重大的研究成果。

　　　六 業(yè)余高手（b）

　　提起業(yè)余數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)研究者，每次都使我肅然起敬。在中國，出于對數(shù)學(xué)中歌德巴赫猜想的興趣而愛好數(shù)學(xué)的有一大批人，筆者有幸在互聯(lián)網(wǎng)和生活中遇見到其中的幾個。記得以前看到電視節(jié)目【東方時空】百姓故事欄目例介紹了一個業(yè)余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸饅頭賣錢度日，卻把大部分收入用在了歌德巴赫猜想上。雖然研究數(shù)學(xué)不用什么花銷，可是購買資料請教問題要外出吧，要有路費和旅途上的費用吧。這些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特點，幾乎都宣稱自己證明出來了，可是卻無法發(fā)表在公開出版的學(xué)術(shù)刊物上，或者被別人挑出錯誤可是自己還不能理解。在一些論壇上，經(jīng)?？吹接嘘P(guān)歌德巴赫猜想的證明，有的看起來還很巧妙。比如我看到一個證明就用到了集合論中很深奧的‘良序公理'，這個公理和‘選擇公理'等價。他巧妙的構(gòu)造一系列集合，可惜他錯誤的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序'，而一廂情愿的認為良序就是一類集合的包含。這些人抱著‘一夜成名'的心態(tài)的畢竟是少數(shù)，多數(shù)是出于對數(shù)學(xué)的熱愛，卻由于各種原因，沒有機會走上專職研究數(shù)學(xué)的道路。

　　德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算業(yè)余高手，后來走上了職業(yè)數(shù)學(xué)家的道路。他開始是學(xué)習(xí)法律和財經(jīng)，一度在在中學(xué)任教。這大概是中學(xué)數(shù)學(xué)教師中最杰出的一位了。德國是一個多出哲學(xué)家的國度，德國人又以嚴格認真見長，外爾斯特拉斯也是一樣，他的品性最能體現(xiàn)德國人對待真理的態(tài)度了。他最大的貢獻是在微積分嚴格化上作出了杰出的貢獻。

　　微積分在創(chuàng)立初期，理論上還不夠嚴密性，無窮小變成了神秘和隨心所欲被理解的量。因此1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表了文章《向一個不信神的數(shù)學(xué)家的進言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求x^n的導(dǎo)數(shù)時，采取了先給x以增量０，應(yīng)用二項式（x+0）^n，從中減去x^n以求得增量，并除以０以求出x^n的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。"他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會因吞食了神學(xué)論點就嘔吐的。"無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達一個半世紀(jì)的爭論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機。

　　外爾斯特拉斯和法國的一些數(shù)學(xué)家一道，使得微積分無懈可擊。

　　外耳斯特拉斯還告訴我們，直觀有時是靠不住甚至是完全錯誤的。從前人們直觀上一直認為連續(xù)曲線肯定是光滑的，或者大多數(shù)點都是光滑的。用在函數(shù)上，就是一直認為連續(xù)函數(shù)是可導(dǎo)的，或者在多數(shù)點是可導(dǎo)的。可是外爾斯特拉斯卻舉出一個反例，在每一個點都連續(xù)，卻有在任何點都不可導(dǎo)。他舉出這個函數(shù)是畫不出圖像的，當(dāng)時作為一個中學(xué)教師，的確令數(shù)學(xué)家們大跌了眼鏡。

　　1851年，大數(shù)學(xué)家高斯最得意的弟子黎曼，在博士論文中提出了一個原理：狄利赫來（Dirichlet）原理，利用這個‘原理'，可以美妙的解決變分中提出的一系列問題，并且在數(shù)學(xué)物理上有著廣泛的應(yīng)用。按照微積分理論，狄利赫來原理應(yīng)該算是理所當(dāng)然成立的?？墒峭鉅査固乩箙s說："不加證明的使用狄利赫來原理，是不嚴格的。"黎曼也是很謙虛的，便回應(yīng)到："您說的對，不過這個原理肯定是正確的，很快我就會證明出來。"但是黎曼直到去世也沒有證明出來，又是這個中學(xué)教師，舉出了一個反例，徹底推翻了狄利赫來原理。于是黎曼博士論文中的一切結(jié)果都是值得懷疑的了。因此數(shù)學(xué)家卡爾.諾依曼嘆息道："如此美妙而又有廣泛應(yīng)用前景的原理，已經(jīng)永遠從我們視野中消失了。"

　　1899年，曠世奇才希爾伯特（Hilbert）用了不到6頁紙，通過附加一個條件，就消除了黎曼理論的缺陷，從而挽救了這個原理。更神奇的是，還挽救了黎曼的名聲，因為用這個改造的原理發(fā)現(xiàn)黎曼所得的其它結(jié)果又都是正確的了。

　　這真是群星閃耀的年代，是數(shù)學(xué)家自由飛翔的年代?？上б蝗ゲ粡?fù)返了。

　　　七 天妒英才

　　下面要說到兩個英年早逝的數(shù)學(xué)家，伽羅瓦和阿貝爾，不過要先從一個故事說起。

　　凡是受過初中教育的人都知道，任何一個一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，這大概是很久就有的公式了。其中根和系數(shù)的關(guān)系被稱作韋達定理，有著廣泛的應(yīng)用。然而三次方程和四次方程甚至更高階方程的求解公式一直不被人們所知。在文藝復(fù)興時期，有個叫塔塔利亞的業(yè)余數(shù)學(xué)家首先得到了這個公式，不過他秘而不宣，這是當(dāng)時搞研究的人的一個傳統(tǒng)。可是，這個消息還是在尋求公式的一些業(yè)余數(shù)學(xué)家之間流傳著。

　　有一個叫卡當(dāng)?shù)臉I(yè)余研究者找到了塔塔利亞，懇求得到塔塔利亞的真?zhèn)?。這個卡當(dāng)在賭博上也不是一般的賭徒，是他在賭博中提出了概率的思想，他還熱衷于煉金術(shù)，星象學(xué)。塔塔利亞肯定被卡當(dāng)打動了，也許卡當(dāng)常跪不起，也許甜言蜜語，總之塔塔利亞告訴了他自己知道的一些公式。卡當(dāng)學(xué)到手求解公式后就離開了塔塔利亞，甚至把對塔塔利亞許下的諾言拋到了九霄云外，寫出了一本術(shù)，名字叫做‘大術(shù)'，介紹了三次方程四次方程的求解方法。于是卡當(dāng)聲名雀起，因為他在書中宣稱這些公式是他自己發(fā)現(xiàn)的。

　　兩個人的爭執(zhí)開始了，解決爭端的方法很簡單，來一場決斗：兩人各自給對方出20道題，看誰先解出來。塔塔利亞大獲全勝，卡當(dāng)一道題都沒有解出來，因為塔塔利亞教他時留了一招，沒有把公式的一般情況告訴卡當(dāng)。這大概是人類歷史上的第一場數(shù)學(xué)競賽，參賽這只有兩個人，這個故事發(fā)生在四百多年前。不過至今這些公式還被稱作卡當(dāng)公式，而塔塔利亞連名字都沒有留下來，塔塔利亞只是一個外號，意大利語意思是‘結(jié)結(jié)巴巴的人'的意思。

　　歷史就像一條河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和馬糞。

　　三次四次方程求根公式得到了以后，人們尋求五次和五次以上方程的求解公式?？墒菤W拉高斯等杰出數(shù)學(xué)家都沒有找到求解公式，成了當(dāng)時數(shù)學(xué)的難題。有兩個青年匆匆的來到了這個世界，又匆匆的離開了，也許他們來到人世的目的就是為了給我們一些驚訝和慨嘆。

　　尼爾斯·亨利克·阿貝爾(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一個名叫芬德的小村莊。阿貝爾幸運的碰到了一個有數(shù)學(xué)頭腦卻無多大數(shù)學(xué)成果的老師，老師很快發(fā)現(xiàn)他的數(shù)學(xué)才能，使得他很早就接觸到了微積分。在中學(xué)的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數(shù)學(xué)界幾百年的五次方程問題。在19歲那年，他證明了一般五次方程求解公式不存在，就是說，不能用方程系數(shù)和開根號的有限多次運算來表示方程的根。阿貝爾認為這結(jié)果很重要，便自掏腰包在當(dāng)?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結(jié)果緊縮成只有六頁的小冊子。阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給國內(nèi)外的一些數(shù)學(xué)家，包括數(shù)學(xué)王子的高斯，希望能得到一些反應(yīng)。可惜他的文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界著名的問題―――連他還沒法子解決的問題。他看都沒看一眼，就把它扔在書堆里了。阿貝爾的另一篇論文是他在歐洲旅行時通過別人轉(zhuǎn)交給大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）手里，柯西連看都沒看就扔到紙簍里。

　　阿貝爾饑寒交迫的回到了挪威，還欠了一身債，最后在絕望中死去，年僅27歲。他活著最大的理想是在大學(xué)里當(dāng)一個講師，可是到死都沒有實現(xiàn)?？纯船F(xiàn)在大學(xué)里教授成堆，博士成群，可是這個群體再也沒有瘋瘋癲癲的學(xué)者，沒有目光深邃的思想者，沒有瘋狂的怪癖人物了。

　　伽羅瓦(Evariste Galois)1811年10月25日生于巴黎附近的一個小城。1829年他兩次投考巴黎綜合工科學(xué)校，卻因思想激進，兩次被拒絕錄取，最后只好進入高等師范學(xué)校學(xué)習(xí)。1829年5月，17歲的他寫出了關(guān)于五次方程的代數(shù)解法的論文，論文中首次引入"群"的概念。他把論文寄給經(jīng)由柯西，請他交給法蘭西科學(xué)院審查。柯西對此根本不屑一顧，把這個中學(xué)生的文章給弄丟了。1830年2月伽羅瓦再次將他的研究成果寫成一篇詳細的論文，寄給科學(xué)院秘書傅立葉，不料當(dāng)年5月傅立葉病死，伽羅瓦的文稿再次被丟失。1831年伽羅瓦第三次將論文送交法國科學(xué)院。泊松院士看了4個月，最后在論文上批道："完全無法理解"。可惜這些大數(shù)學(xué)家的傲慢和自大，使得伽羅瓦的理論被埋沒了將近50年。

　　伽羅瓦因為政治激進，被陰謀的政客們用一件小事慫恿和一個軍官決斗。在決斗前一個晚上，他急切地寫著他的遺言。想在死亡來臨之前盡快把他的思想中那些有意義的東西寫出來。他不時中斷，在紙邊空白處寫上"我沒有時間，我沒有時間。"接著伽羅瓦又寫下一個潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，一勞永逸地給一個折磨了數(shù)學(xué)家?guī)讉€世紀(jì)的難題題找到了真正的答案，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)上的一個重要的分支―――群論。

　　伽羅瓦在決斗中被打成重傷，死在家里，年僅21歲。

　　盡管阿貝爾和伽羅瓦創(chuàng)造的群論是純粹的抽象代數(shù)，可是卻在后來量子力學(xué)中得到了很好的運用。利用對稱群理論，人們能夠事先預(yù)測晶體的種類，群論還會出現(xiàn)在意想不到的地方。比如玩魔方，就可以利用群論的知識。

　　數(shù)學(xué)啊，你是如此的具有魅力，如此讓人癡迷。

來源：http://www./bbs/tpost-770381.html

-