UNIX® 有許多工具可供使用，它們可以滿足您的數(shù)學(xué)啟蒙要求。其中有些工具是內(nèi)置的；大多數(shù)則是下載保存的。本文將向您展示 UNIX 工作站上通往數(shù)學(xué)殿堂之路。

談到數(shù)學(xué)，并不缺乏相關(guān)的計(jì)算機(jī)軟件包。數(shù)學(xué)是程序員和分析人員的流行主題，從而導(dǎo)致了大量不同的工具可供選擇。

數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。 數(shù)學(xué)工作站的商業(yè)使用群體非常龐大：從基礎(chǔ)工程到設(shè)計(jì)創(chuàng)意，從基因治療到天體導(dǎo)航，數(shù)學(xué)統(tǒng)治著整個(gè)世界。幫助人們解決他們所選領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)程序 并不缺乏。本文的剩余部分將描述幾個(gè)商業(yè)和開(kāi)放源代碼系統(tǒng)，它們?cè)谀鶑氖碌念I(lǐng)域可能證明是有價(jià)值的。所描述的所有系統(tǒng)都有專用于它們的網(wǎng)頁(yè)，并包括在本 文的參考資料部分。

數(shù)字計(jì)算器

UNIX 工作站中存在的最常用數(shù)學(xué)工具以計(jì)算器和更高級(jí)的電子表格程序（如 GNU Calc）的形式出現(xiàn)。算術(shù)規(guī)則非常簡(jiǎn)單，所有這些工具都忠實(shí)地遵守它們。幾乎每個(gè)全功能的窗口管理工具包都至少突出體現(xiàn)了一個(gè)計(jì)算器，有時(shí)還有多個(gè)版本的計(jì)算器。

GNU 項(xiàng)目還提供了可供下載的計(jì)算工具。其中包括 GNU Calc、GNU Plot、ATLAS、Choose 和 4,000 多個(gè)其他面向數(shù)學(xué)的程序。請(qǐng)參見(jiàn)參考資料部分以獲得指向完整列表的鏈接。

符號(hào)數(shù)學(xué)

正 如您在學(xué)校中級(jí)課程中所學(xué)習(xí)到的，數(shù)學(xué)所涉及的遠(yuǎn)不只是對(duì)數(shù)字的簡(jiǎn)單運(yùn)算。數(shù)字占位符的符號(hào)表示形式——諸如 x、y 和 z 等變量、笛卡兒坐標(biāo)、因素分解原理以及積分和微分世界——是一個(gè)豐富和多樣性領(lǐng)域的一部分，該領(lǐng)域要求提供同樣豐富和多樣性的計(jì)算機(jī)資源。為這些任務(wù)而設(shè) 計(jì)的程序領(lǐng)域的最常用名稱是“計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)”(Computer Algebraic Systems，CAS)。同時(shí)存在商業(yè)和開(kāi)放源代碼 CAS 程序可供使用，下面將描述其中一些最常用程序。

但是，能夠操作符號(hào)在大多數(shù)情況下還不足夠。與原始坐標(biāo)點(diǎn)值清單所能提供的信息相比，圖形可以告訴我們更多信息?？捎糜谟?jì)算機(jī)代數(shù)的大多數(shù)系統(tǒng)還突出體現(xiàn)了某種繪圖機(jī)制，允許您可視化所標(biāo)繪的數(shù)據(jù)。

教育資源

可以使用許多計(jì)算機(jī)程序來(lái)幫助您解決數(shù)字和符號(hào)數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是還有些程序可以幫助您學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。MetaMath 系列程序就是一個(gè)理想的起點(diǎn)（請(qǐng)參見(jiàn)參考資料部分）。對(duì)于初學(xué)者或通常認(rèn)為自己無(wú)意從事該領(lǐng)域的讀者，本文描述的數(shù)學(xué)和程序也是引人入勝的。只需下載和試驗(yàn)其中一些程序就可能會(huì)激發(fā)您成為某方面的專家，從而比任何計(jì)算機(jī)游戲都更能充實(shí)您的生活。

商業(yè)軟件包

下面是一些最常用商業(yè) CAS 系統(tǒng)的簡(jiǎn)要概述。如果您對(duì)其中任何系統(tǒng)感興趣，可以通過(guò)瀏覽它們的網(wǎng)站來(lái)找到更多信息，參考資料部分列出了所有這些網(wǎng)站。

Derive。Software Warehouse 是創(chuàng)建旨在運(yùn)行于早期工作站計(jì)算機(jī)上的數(shù)學(xué)軟件的最早先行者之一。該公司設(shè)立于 1979，當(dāng)時(shí) PC 革命剛起步，計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)還僅在使用分時(shí)終端的大型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上可用，該公司設(shè)計(jì)了一款名為 muMATH 的程序，以便 PC 用戶能夠超越簡(jiǎn)單的計(jì)算器，從而在有限的小型計(jì)算機(jī)硬件上處理符號(hào)數(shù)學(xué)問(wèn)題。后來(lái) muMATH 系統(tǒng)停止了使用，并被遠(yuǎn)遠(yuǎn)更高級(jí)的 Derive 系統(tǒng)所取代。Derive 是使用 Lisp 語(yǔ)言編寫(xiě)的，Lisp 是一種公共編程語(yǔ)言，尤其適合基于規(guī)則的處理，該處理是將一個(gè)抽象數(shù)學(xué)表達(dá)式變換為另一個(gè)表達(dá)式所必需的。

Fermat。這 個(gè)專有共享軟件計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)是為紀(jì)念已故最著名數(shù)學(xué)家之一 Pierre de Fermat 而命名的。它在各種各樣的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上運(yùn)行，尤其擅長(zhǎng)于涉及任意長(zhǎng)度整數(shù)和小數(shù)、圖、矩陣和多項(xiàng)式代數(shù)的算術(shù)。Fermat 運(yùn)行得非?？臁?jù)該公司的廣告宣稱，如果您需要計(jì)算 Q 上的 400 x 400 矩陣的特征多項(xiàng)式，那么您就需要 Fermat。

Maple。 Maple 數(shù)學(xué)軟件包由 Waterloo Maple Inc. (Maplesoft) 開(kāi)發(fā)并銷售，最初由加拿大安大略省沃特盧的沃特盧大學(xué)的 Symbolic Computation Group 于 1981 年創(chuàng)建。Maple 是一款給人印象深刻的軟件包，尤其擅長(zhǎng)于三維繪圖和以課本形式顯示數(shù)學(xué)公式。它在一個(gè)動(dòng)態(tài)工具中組合了界面和編程語(yǔ)言，可同時(shí)用于數(shù)字和符號(hào)問(wèn)題的解答。 許多大學(xué)已將 Maple 作為教授數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)工具；該公司提供此軟件的學(xué)生版和專業(yè)版。

MathCAD。 PTC 是一家工程設(shè)施公司，于 2006 年收購(gòu)了 MathCAD 的股權(quán)。MathCAD 在簡(jiǎn)單性方面與 Maple 類似，具有允許工程師在屏幕上輸入和顯示各種公式以及圖形和文本的界面。MathCAD 組合了一個(gè)龐大的功能庫(kù)，包括微積分、拉普拉斯變換、貝塞爾函數(shù)、統(tǒng)計(jì)和財(cái)務(wù)函數(shù)。

Mathematica。 Stephen Wolfram 的公司 Wolfram Research 于 20 世紀(jì) 80 年代晚期開(kāi)發(fā)了 Mathematica，并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了該工具的編程方面。它提供了過(guò)程式和函數(shù)式編程的靈活組合，并引入了自動(dòng)重新編寫(xiě)公式的非確定性方法。它是一個(gè)強(qiáng)大 的軟件包，帶有一個(gè)大型的多樣性功能庫(kù)，并提供了解決問(wèn)題的獨(dú)特多范例方法。

Reduce。 Reduce 是另一個(gè)通用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，是由許多科學(xué)家以協(xié)作方式開(kāi)發(fā)完成的。該系統(tǒng)于 20 世紀(jì) 60 年代由 Anthony Hearn 創(chuàng)建。Reduce 現(xiàn)已成為科學(xué)界許多人的最愛(ài)。它以收取成本回收費(fèi)用的方式進(jìn)行分發(fā)，并且分發(fā)版中通常包括源代碼。

開(kāi)放源代碼軟件包

本部分研究開(kāi)放源代碼的世界。下面是一些最常用的開(kāi)放源代碼 CAS 系統(tǒng)的簡(jiǎn)要概述，這些系統(tǒng)的源代碼在常用開(kāi)放源代碼許可證之一下授予許可。如果您對(duì)其中任何系統(tǒng)感興趣，可以通過(guò)瀏覽它們的網(wǎng)站來(lái)找到更多信息，參考資料部分列出了所有這些網(wǎng)站。

Axiom。這 個(gè)稱為 Axiom 的開(kāi)放源代碼計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)是在修改后的 Berkeley Software Distribution (BSD) 許可證下發(fā)布的，它對(duì)于探索不同的數(shù)學(xué)算法非常有用。其突出特性是強(qiáng)類型的數(shù)學(xué)對(duì)象層次結(jié)構(gòu)和對(duì)對(duì)象進(jìn)行分組和控制的常用編程數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。Axiom 是使用自定義 A# 編程語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)的，對(duì)于有意探索算法設(shè)計(jì)的人來(lái)說(shuō)是值得的工具。

CoCoA。 Computations in Commutative Algebra (CoCoA) 是另一個(gè)免費(fèi)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，用于處理超大型整數(shù)、有理數(shù)和多項(xiàng)式。它為自定義 C++ 程序提供了有用的數(shù)學(xué)功能庫(kù)。

Dcas。計(jì) 算機(jī)代數(shù)領(lǐng)域幾乎為數(shù)學(xué)研究的每個(gè)方面提供了豐富多彩的方法。存在許多在程序中表示數(shù)學(xué)對(duì)象的方法，而 Martin Johansen 的 Dcas 系統(tǒng)則證明了這些方法可以如何的千差萬(wàn)別。Dcas 突出體現(xiàn)了一種使用標(biāo)識(shí)作為規(guī)則來(lái)操作代數(shù)表達(dá)式的方法。Dcas 非常值得一試；您可能會(huì)發(fā)現(xiàn)它是處理您所在領(lǐng)域問(wèn)題的理想方法。

DoCon。 稱作 Haskell 的函數(shù)式編程語(yǔ)言展示了一個(gè)用于符號(hào)數(shù)學(xué)的程序，名為 DoCon。按照該公司網(wǎng)站（請(qǐng)參見(jiàn)參考資料部分）上的文檔，DoCon 實(shí)現(xiàn)了線性代數(shù)、多項(xiàng)式最大公約數(shù)、因素分解、Grobner 基，并支持域上的結(jié)構(gòu)（constructions on domains）——分?jǐn)?shù)、多項(xiàng)式、留數(shù)環(huán)，等等。它是開(kāi)放源代碼的，可能就是用于您正打算要編寫(xiě)的應(yīng)用程序的恰當(dāng)工具。

Eigenmath。Eigenmath 是由 George 使用 C 語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)的，是一個(gè)簡(jiǎn)單易用的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)。由于有源代碼可用，它成了剛開(kāi)始探索計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)生的有用工具。

GiNaC。 GiNaC 與大多數(shù)其他計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)不同，它沒(méi)有提供用于輸入表達(dá)式的圖形用戶界面 (GUI)，而是選擇讓用戶以本機(jī) C++（其實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言）來(lái)輸入表達(dá)式。它使用運(yùn)算符重載這種本機(jī) C++ 面向?qū)ο蠹夹g(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)代數(shù)語(yǔ)法。在這個(gè)由許多陌生名稱所主宰的領(lǐng)域，它還具有一個(gè)比較陌生的名稱！

Jscience。Jscience 軟件包是一個(gè)強(qiáng)大的基于 Java™ 的物理和數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)，它通過(guò)提供單個(gè)用于所有開(kāi)發(fā)的體系結(jié)構(gòu)，旨在幫助跨不同科學(xué)領(lǐng)域構(gòu)建協(xié)同作用。至少可以這樣說(shuō)，這是個(gè)非常崇高的目標(biāo)，但是也不排除該公司能夠?qū)崿F(xiàn)該目標(biāo)。

Macaulay。Macaulay 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對(duì)于多項(xiàng)式計(jì)算非常有用，并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào) Grobner 基計(jì)算。它旨在解決具有簡(jiǎn)單語(yǔ)法并且已描述為代數(shù)機(jī)器語(yǔ)言 (algebraic machine language) 的問(wèn)題。

Magma. Magma 在成本回收許可證下進(jìn)行分發(fā)，是一個(gè)旨在解決代數(shù)問(wèn)題的高性能系統(tǒng)。它突出體現(xiàn)了用于群論的功能以及群數(shù)據(jù)庫(kù)、用于整數(shù)和多項(xiàng)式算術(shù)的漸近快速算法和幾個(gè)用于高級(jí)運(yùn)算的前沿庫(kù)。

Mathomatic。此程序沒(méi)有內(nèi)置的編程功能，旨在用作簡(jiǎn)單的符號(hào)數(shù)學(xué)計(jì)算器。它可以在任何系統(tǒng)上使用 C 編譯器、標(biāo)準(zhǔn) C 庫(kù)和 UNIX make 實(shí)用程序進(jìn)行編譯。

Maxima。與 大多數(shù)計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)一樣，Maxima 是使用 Lisp 語(yǔ)言編寫(xiě)的。Maxima 基于商業(yè)軟件包 Macsyma，并包括一種完整的 ALGOL 風(fēng)格的編程語(yǔ)言，對(duì)于教授計(jì)算機(jī)代數(shù)方面的編程概念最有用。它提供了任意精度的算術(shù)，使得整數(shù)和有理數(shù)的大小僅受到系統(tǒng)可用內(nèi)存的限制。

PARI/GP。PARI 是快速運(yùn)行的符號(hào)函數(shù) C 語(yǔ)言庫(kù)，用于因素分解、代數(shù)數(shù)論、橢圓曲線、矩陣和超越函數(shù)。GP 是交互式的 Shell，用于提供對(duì) PARI 函數(shù)的訪問(wèn)。通過(guò)使用 gp2c 編譯器，可以為問(wèn)題域創(chuàng)建快速運(yùn)行的程序。

SAGE。Software for Algebra and Geometry Experimentation (SAGE) 是使用 Python 語(yǔ)言編寫(xiě)的，并使用交互式的 Python Shell 作為其用戶界面。SAGE 的獨(dú)特之處在于，它能夠用作其他各種計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的集成器，從而允許用戶利用不同軟件包的各自強(qiáng)項(xiàng)。

SINGULAR。對(duì)于交換代數(shù)、代數(shù)幾何和奇點(diǎn)理論，SINGULAR 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在軟件包內(nèi)核以及共享庫(kù)中提供了大量的算法。它還包括詳盡的文檔。SINGULAR 是個(gè)值得一試的系統(tǒng)，如果您對(duì)奇點(diǎn)理論感興趣則尤其如此。

Yacas。Yet Another Computer Algebra System (Yacas) 具有漂亮的用戶界面和開(kāi)放源代碼軟件的所有其他強(qiáng)項(xiàng)。該系統(tǒng)的輸入可以是 ASCII 或 OpenMath；該程序還具有批處理模式。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，幫助解決您在特定領(lǐng)域所面對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具并不缺乏。無(wú)論您是處理保險(xiǎn)單定價(jià)的保險(xiǎn)精算師，還是確定飛向冥王星的宇宙飛船最優(yōu)路線的天體導(dǎo)航員，都有相關(guān)程序可幫助回答您的問(wèn)題。