1.01 + 2.01 = 3.02
    2.01 * 2.01 = 4 0401
   不知你注意沒(méi)有，這個(gè)很尋常的等式，你如果將它放在C++中，Java中，Basic中，它
居然是不成立的。計(jì)算機(jī)在開(kāi)玩笑嗎？噢，對(duì)了，隱約記得這好象是浮點(diǎn)數(shù)的問(wèn)題，似乎
很多很多年前，老師說(shuō)過(guò)。還有某位姓林的先生在某本書(shū)里提過(guò)=0的判斷。
   嗯，如果你不遇到此問(wèn)題，那你完全可以把它拋到火星上去，可惜，偶不好彩，這樣的
問(wèn)題，被俺遇到了。唉！
   why？how？
  
   沒(méi)辦法，硬著頭皮，從頭開(kāi)始。

一：為何不成立？Why？
   這得從浮點(diǎn)數(shù)的在計(jì)算機(jī)內(nèi)的存儲(chǔ)開(kāi)始說(shuō)起，我這里閑話少說(shuō)。我們只談雙精度double
數(shù)(至于float，基本上是五十步和一百步的區(qū)別)。
   雙精度數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示方式是：(三部分組成)
   符號(hào)(正或負(fù))  階碼(2的N次冪)   尾數(shù)(大于等于1小于2的數(shù))
   比如： -(符號(hào)) 1.01(尾數(shù)) * 2~1(N = 1)  = - 2.02
   具體到計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元：雙精度數(shù)共占8字節(jié)(64bit)
   符號(hào)位(占1個(gè)bit) 階碼(11個(gè)bit) 尾數(shù)(52個(gè)bit)
解釋一下：
   符號(hào)位：0表示正 1表示負(fù)
   階碼：是一個(gè)偏移量，1023的偏移量,它的1023相當(dāng)于0,小于1023時(shí)為負(fù),
大于1023時(shí)為正,如:10000000001表示指數(shù)為1025 - 1023 = 2,表示真值為2^2。

好了，知道了原理，我們開(kāi)始分析上述等式為何為不等。
(相應(yīng)數(shù)的存儲(chǔ)值，可以簡(jiǎn)單用C語(yǔ)言的指針?lè)绞饺〕?
1.01 表示為：
0   0111111 1111    0000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101001 
2.01 表示為；
0   1000000 0000    0000 00010100 01111010 11100001 01000111 10101110 00010100
3.02 表示為：
0   1000000 0000    1000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101001
2.01+1.01 在編程語(yǔ)言中的計(jì)算結(jié)果 表示為：
0   1000000 0000    1000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101000
好了，我們可以比較一下3.02和計(jì)算結(jié)果，果然有所不同，只不過(guò)最后一個(gè)bit不同嘿。
為了驗(yàn)證一下，可以用手工計(jì)算一下2.01+1.01：
先把1.01的冪次變?yōu)?(與2.01的階碼相同)，于是，將尾數(shù)右移一位。得到：
  1000 00010100 01111010 11100001 01000111 10101110 000101001
加上2.01的尾數(shù)。
  0000 00010100 01111010 11100001 01000111 10101110 00010100
得到：
  1000 00101000 11110101 11000010 10001111 01011100 00101000
嗯，與計(jì)算機(jī)的計(jì)算結(jié)果相同，我們的運(yùn)算思路是正確的。

因此，結(jié)論出來(lái)了，因?yàn)?strong>浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)的存儲(chǔ)存在偏差，導(dǎo)致運(yùn)算時(shí)，與實(shí)際期望的結(jié)
果不同。很多時(shí)候，你可以不理它，但是，可以肯定負(fù)責(zé)任的說(shuō)，發(fā)射衛(wèi)星的運(yùn)算時(shí)，你
需要知道，否則，衛(wèi)星一轉(zhuǎn)眼就不見(jiàn)了。

二：不成立的的原因找到了，那怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢，How？
一個(gè)簡(jiǎn)單的解決辦法是：
不要用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)存儲(chǔ)浮點(diǎn)，對(duì)于VC,Java,Basic，最好的辦法是用Decimal來(lái)保存它。
下面是分別的實(shí)現(xiàn)：(以加法為例，其它四則運(yùn)算處理相同)
VC中：
double doublAdd(double dbl1, double dbl2)
{
 double dblResult;
 DECIMAL dec1,dec2,decResult;
 ::VarDecFromR8(dbl1,&dec1);
 ::VarDecFromR8(dbl2,&dec2);
 ::VarDecAdd(&dec1,&dec2,&decResult);
 ::VarR8FromDec(&decResult,&dblResult);
 return dblResult;
}
VB中：
Private Function doubleAdd(ByVal dbl1 As Double, ByVal dbl2 As Double) As Double
    doubleAdd = CDec(dbl1) + CDec(dbl2)
End Function

Java中：
public static double add(double v1, double v2) {
    BigDecimal b1 = new BigDecimal(Double.toString(v1));
    BigDecimal b2 = new BigDecimal(Double.toString(v2));
    return b1.add(b2).doubleValue();
}
解決思路就是：用其它精確的表示法來(lái)存儲(chǔ)浮點(diǎn)數(shù)，就這么簡(jiǎn)單。
注意：VC示例中，VarDecFromR8是做了手腳地，如果能直接用VarDecFromStr那更好。

三：在C/C++中，似乎很不情愿看到類(lèi)似上例中的代碼，因?yàn)樗雌饋?lái)很低效，還有其它方法嗎？
好象還有，對(duì)了，只是好象。
我們?cè)賮?lái)看看雙精度數(shù)的表示法：
尾數(shù)一共有52個(gè)bit，也就是最小能表示的數(shù)是 2^-52，取對(duì)數(shù)可得出，約是
在小數(shù)點(diǎn)后16位，那也就是說(shuō)小數(shù)點(diǎn)后15位是可以精確表示的，加上前置的默認(rèn)1，一共有16位
數(shù)字是精確可靠的。
我們來(lái)試驗(yàn)一下，看上述結(jié)論是否成立。
看看VC調(diào)試器的顯示值。
2.01 的顯示值： 2.0099999999999998
如果只取16位有效數(shù)字，那么將最后一位8四舍五入，我們得到正確的表示。
好了，這能說(shuō)明什么呢？

四：我們先看比較簡(jiǎn)單的加，減法運(yùn)算。
對(duì)于加法：dbl1 + dbl2：
假設(shè)dbl1=1.01 那么，16減去整數(shù)位1，我們可以假定，在計(jì)算機(jī)表示中：
小數(shù)點(diǎn)后的15位都是精確的。
假設(shè)dbl2=100.01 那么 16-3，假定小數(shù)點(diǎn)后13位是精確的。
憑經(jīng)驗(yàn)我們可以知道，兩個(gè)小數(shù)相加，小數(shù)點(diǎn)后的精度不會(huì)大于精度銷(xiāo)大的一個(gè)。
所以，我們判定得出結(jié)果的精確度可以用較大的一個(gè)為準(zhǔn)。
于是，將得出的結(jié)果，去掉不精確的位數(shù)，則應(yīng)該可以得到準(zhǔn)確值。
VC實(shí)現(xiàn)如下：
#define DELTA_RATE  16
int getRound(double dbl)
{
 COleVariant var(dbl);
 COleVariant varForLog(dbl);
 ::VarRound(&varForLog,0,&varForLog);
 int nIntCount = log10(varForLog.dblVal>0?varForLog.dblVal:-varForLog.dblVal) + 1;
 int nRound = DELTA_RATE - nIntCount;
 return nRound;
}
double doublAdd2(double dbl1, double dbl2)
{
 COleVariant var(dbl1+dbl2);
 int r1 = getRound(dbl1);
 int r2 = getRound(dbl2);
 ::VarRound(&var,max(r1,r2),&var);
 return var.dblVal;
}
做過(guò)一些實(shí)驗(yàn)，好象是正確的。同理可以實(shí)現(xiàn)doubleSub2的函數(shù)。
注意：這里并不用下面五所提的取精度的方式，因?yàn)槿【鹊倪\(yùn)算更低效。

五：對(duì)于乘除法呢？問(wèn)題有些復(fù)雜，先找出一個(gè)需要處理的例子。
如：2.01*2.01=4.0401。
試了一下，不成立。
用方法一的Decimal方式測(cè)試，可以通過(guò)。
那么方法二呢？
再做假設(shè)吧，假設(shè)dbl1有兩位小數(shù)，dbl2也有兩位小數(shù)，按理論，
可得出相乘后，最大可能是2+2位小數(shù)。那么，我們按照 4位小數(shù)
進(jìn)行Round處理，可能會(huì)得出正確的結(jié)果。
實(shí)際上，要取一個(gè)雙精度的10進(jìn)制表達(dá)的小數(shù)位，我沒(méi)有找到什么好辦法，
我能想到的：也就是將數(shù)字轉(zhuǎn)為字串，然后查找.后的位數(shù)。這樣，顯然是
非常低效的，這里，我就不再寫(xiě)出代碼了。

六：比較方法一和方法二。方法二并不高效，并且還有一些不定因素，所以，
最好采用方法一來(lái)統(tǒng)一處理浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算。
至于效率，實(shí)際上最佳方法是從程序的設(shè)計(jì)著手，將double從程序中去除掉。
比如在VC中，可以用Variant::Decimal來(lái)徹底替換double，這樣，就不存在
中間的轉(zhuǎn)換了，效率自然就提高了。有關(guān)Decimal的常用函數(shù)是：
VarDecFromStr VarDecAdd VarDecSub VarDecMul VarDecDiv ……
VarBstrFromDec
至于Java和VB，也可以方便的找到相應(yīng)函數(shù)。

很想找到一種更好的方法，總覺(jué)得用Decimal來(lái)進(jìn)行運(yùn)算很不爽，但真的沒(méi)找到？
其實(shí)呢，做了一下測(cè)試，Decimal的運(yùn)算并不慢，如果可以將內(nèi)部存儲(chǔ)改為Decimal，
那就可以徹底解決問(wèn)題了。