一個例子，究竟能說明什么？

師：喜歡聽故事嗎？

生：喜歡。

師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？

結(jié)合學生發(fā)言，教師板書：3+4=4+3。

師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個加數(shù)的位置和不變。

(教師板書這句話)

師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說些什么？

生2：我覺得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。

生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數(shù)相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。

師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結(jié)論當作一個猜想(教師隨即將生1給出的結(jié)論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得——

生：驗證。

驗證猜想，需要怎樣的例子？

師：怎么驗證呢？

生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？

師：怎樣的例子，能否具體說說？

生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可這一想法）

師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？

生2：五、六個吧。

生3：至少要十個以上。

生4：我覺得應該舉無數(shù)個例子才行。不然，你永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）

生5：我反對！舉無數(shù)個例子是不可能的，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結(jié)論！

師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？

學生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。

師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。

（教師展示如下兩種情況：1．先寫出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）

師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？

生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）

生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。

（大家對生6、生7的發(fā)言表示贊同。）

師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？

（幾位同學不好意思地舉起了手。）

師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。

師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數(shù)的位置和不變。

生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數(shù)的位置和不變。

（注：事實上，選生8、生9進行交流，是教師有意而為之。）

師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？

生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。

生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。

生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。

（多數(shù)學生表示贊同。）

師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

教師出示作業(yè)紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。

生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。

生：他還舉到了分數(shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數(shù)的位置和不變，交換兩個分數(shù)的位置和也不變。

師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換——

生：任意兩個加數(shù)的位置和不變。

師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問?，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這個結(jié)論了嗎？（學生均表示認同）有沒有誰舉例時發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個加數(shù)位置和變了？（學生搖頭）這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？

生：能。

（教師重新將“？”改成“。”，并補充成為：“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變。”）

師：回顧剛才的學習，除了得到這一結(jié)論外，你還有什么其它收獲？

生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。

生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。

師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？

（學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）

師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個加數(shù)的――（板書：變）

生：位置。

師：但不變的是――

生：它們的和。（板書：不變）

師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結(jié)合在一起。

結(jié)論，是終點還是新的起點？

師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時，從已有的結(jié)論中通過適當變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變。”那么，在——

生1：（似有所悟）減法中，交換兩個數(shù)的位置，差會不會也不變呢？

（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變。”）

師：不急于發(fā)表意見。這是他（生1）通過聯(lián)想給出的猜想。

（教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個數(shù)的位置差不變？”）

生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數(shù)的位置積會不會也不變？

（教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數(shù)的位置積不變？”）

生3：除法中，交換兩個數(shù)的位置商會不變嗎？

（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數(shù)的位置商不變？”）

師：通過聯(lián)想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？

生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數(shù)”換成“三個加數(shù)”、“四個加數(shù)”或更多個加數(shù)，不知道和還會不會不變？

師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。

（學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。）

師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？

生5：我舉了兩個例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數(shù)的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。

師：根據(jù)他舉的例子，你們覺得他得出的結(jié)論有道理嗎？

生：有。

師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數(shù)的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。

生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。

生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續(xù)往下再舉例。

師：哪又是為什么呢？

生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想肯就錯了。

師：同學們怎么理解他的觀點。

生8：（略。）

生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。

師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學上我們就稱作――

生：反例。

（有略。）

師：關(guān)于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。

師：能給大家說說你舉的例子嗎？

生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。

（另有數(shù)名同學交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。）

師：那你們都得出了怎樣的結(jié)論？

生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。

生12：我想補充。應該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說更保險一些。

師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結(jié)論吧，等學完分數(shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結(jié)論，你們看行嗎？

（對猜想三、四的討論略。）

隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系。

怎樣的收獲更有價值？

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。

生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結(jié)論才準確。

生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。

生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。

師：只有一個例子，行嗎？

生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。

（作為補充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。“真有意思，”天文學家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對吧。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數(shù)學家馬上接著說：“我覺得下面的結(jié)論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）

必要的拓展：讓結(jié)論增殖！

師：在本課即將結(jié)束的時候，依然有一些問題需要留給大家進一步展開思考。

（教師出示如下算式：20－8－6○20－6－8 ;  60÷2÷3○60÷3÷2）

師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個除數(shù)也交換了位置。

師：交換兩個減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結(jié)論嗎？這些結(jié)論和我們今天得出的結(jié)論有沖突嗎，又該如何去認識？

(周衛(wèi)東和賁友林兩位兄長就上述二文給予過指導，在此一并表示感謝。)