【編者按】 2006年1月24日，CERSP教育論壇邀請劉兼、孫曉天、呂傳漢、汪秉彝、張丹等就“數學教學中的問題情境設計”為題，與網友進行了一次對話研討。本次活動，得到網友的廣泛參與和眾多專家的支持，尤其是貴州師范大學呂傳漢、汪秉彝兩位教授主持的“數學情境與提出問題”課題組的多位成員參加了本次活動。這個課題組，實驗十余年，在國內外產生很大的影響。這次活動有理論思考，也有實踐支撐，有一線教師的參與，也有專家的引領，活動得到較好的反響?，F將活動中的主要觀點略作整理，以饗讀者。

 

1.為什么要討論數學問題情境教學

從這次活動看，一線教師已不滿足于模仿操作、累積經驗的層面，對諸如什么是問題情境，數學問題情景教學的理念等問題作了深入的理性思考。由此看出，教師的素質和反思能力在提高，這是一個可喜的現象。數學問題情境教學設計作為一種重要的教學方式，已越來越被廣大的教師和教育工作者所認同。本次活動之所以得到如此多專家和教師的關注，除了它代表了一種先進的教學理念之外，還因為它順應了時代的發(fā)展和社會的需要。劉兼教授引用中國教育學會會長顧明遠先生的一段話，指出了這次活動的背景：最近，我國貴州師范大學數學與計算機科學學院的呂傳漢、汪秉彝教授與他們的研究生，和美國德拉華大學(UniVersity 0f Delaware)的蔡金法博士對中、美小學高年級學生聯合進行了“數學問題提出與解決”的跨文化研究，結果值得國人深省。他們的數學測試清楚表明，我小學學生的數學問題提出能力明顯低于數學問題解決能力，也低于美小學學生提出數學問題的能力。…可見，我國傳統(tǒng)的中小學數學教學模式，只重視訓練學生解答已經提出的問題，并要求學生按一定的解題模式去反復強化訓練，而忽視了如何引導學生去發(fā)現和提出問題、去探索解決非常規(guī)問題，從而嚴重地影響了對學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。在推進新課程的過程中如何創(chuàng)設一個高質量的數學問題情境，引導學生主動的學習數學、深入的思考數學，促進學生數學修養(yǎng)的提高，是我們不容回避的問題。

 

2.什么是數學問題情境

汪秉彝先生、楊孝斌先生認為：數學情境是一種激發(fā)學生問題意識為價值取向的刺激性的數據材料和背景信息。是從事數學活動的環(huán)境，產生數學行為的條件。針對有教師提問：“情境”和“情景”，有沒有區(qū)分的必要這一問題，孫曉天教授從一線教師的實際出發(fā)，談了自己的觀點，他認為：僅從詞義上說，“情景”和“情境” 之間是有區(qū)別的，“情景”的“景”是具體、直觀和吸引人的。“情境”的“境”是指構成和蘊涵在情景中的那些相互交織的因素及其相互之間的關系，從內涵看，情境要比情景豐富、復雜得多。數學課程著眼于后者。但脫離了數學課程的背景，去區(qū)別這兩個詞，就沒有意義了。無論我們談及“情景”還是“情境”都不是觀賞性的停留在表面，而是為了深入進去，研究情景背后的故事，找出與數學有關的線索。例如我本人就習慣用“情景”，一方面這個詞好理解，另一方面在數學課程里出現的情景肯定不僅僅是為了好玩兒，更是為了引起一些與“為什么”有關的討論。說的是“情景”，其實指的是“情境”。因此，在數學課程里（不是生活里）的“情景與情境”可以看成一回事，這不會引起歧義，也方便廣大教師理解。如此看來“情景與情境的區(qū)別”，“什么是情境”，“情景與情境的分類”這些問題就不那么重要了，重要的為什么數學課程要有情景？情境如何融入數學課程？數學課程如何借助情景搭建與生活的聯系？一個具體情境怎么個用法、用的合適不合適，用足了沒有？等等。讓“情景”的運用體現學生自主“參與”數學活動，親身“經歷”數學化的過程、由“被動”到“主動”學習的理念。孫曉天教授的觀點，為我們在情境問題的討論上明確了重點和方向，也指出了對一問題討論的意義。

 

3.數學問題情境的分類。

孫曉天教授認為：數學問題情境應當滿足兩條：一個是與學生的生活經驗有關，適合做數學課程與學生經驗之間的接口；另一個是能成為學生應用數學和作出創(chuàng)新、發(fā)現的載體。依照這個原則他把問題情景分成：現實的、超現實的（虛擬的）、學生知識儲備和經驗中已有的三類。由此，問題情境不一定就非得是生活里面有的真情實景，有時候情境也可以是很抽象的，例如加法就可以作為乘法的情境，減法就可以作為除法的情境。并且情境不是中小學課程的專用詞匯，就是到大學里也得搞情境，不論學到什么程度，都要和已有的經驗和積累聯系，都要和新的東西聯系，都要和發(fā)現聯系。滿足這些聯系的題材和素材，在一個課程框架下，就叫問題情境。夏小剛博士提醒網友：隨著學生身心的不斷發(fā)展及學校數學內容的抽象性的不斷增加，教師所創(chuàng)設的數學情境可能應更多地立足于數學內部本身，注重與其他學科的聯系。

康紀權教授、楊孝斌先生等也給出了數學問題情境的分類法及表述方式。由專家對數學問題情境的分類，我們可以看出：數學問題情境并不只是學生真實的生活情境，可以是虛擬的，也可以是數學等知識的。重要的是看其與數學的聯系，使學生理解數學、獲得數學并得到進一步的發(fā)展方面所起的作用。

 

4.數學問題情境教學的理念

課程標準倡導讓學生經歷“問題情境——建立模型——解釋或應用”這一重要的數學活動過程。“這種數學教學旨在逐漸建立學生的數學問題意識，逐漸提高學生提出數學問題的能力，不斷增強學生應用數學知識解決實際問題的能力。”（楊孝斌） “傳遞給中小學數學教師的一種能體現現代教育理念又易于操作的教學模式。”（曾小平）“數學問題的情境更主要的要讓學生從數學情境中發(fā)現問題，能生成對所發(fā)現數學問題自主進行合作與探究學習必要的意識或學問。”網友輝煌和asdf123的觀點，得到了多位專家的贊同。

張丹副教授從四個方面闡述了在教學中創(chuàng)設情境的價值：

第一，這樣做代表了教學觀念的變化。這次課程改革強調學生是學習的主體，學習活動是學生以自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程，如果我們承認以學生為主體的學習，那么教學中必然需要一種情境，這種情境是基于學生的知識和經驗的，是溝通學生已有經驗和所學數學內容的橋梁。

第二，創(chuàng)設情境實際上承認了教學的復雜性、創(chuàng)造性和生成性。情境的英文可以是Context，它的意思是上下文、前后有關聯的東西，這代表了我們對教學的認識。教學過程是教師和學生共同進行的一種富有挑戰(zhàn)性的“再創(chuàng)造”，是師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展的過程。

第三，情境可以激發(fā)探索和創(chuàng)造。情境往往并不直接揭示所學的數學內容，而需要學生基于自己的實踐和思考，從中提煉數學信息，因此，學生的許多富有創(chuàng)造的想法可以從情境中引發(fā)出來，在不斷地探索和交流中，數學思想得以漸漸突顯。要激發(fā)學生的探索和創(chuàng)造，需要提供給學生一個“問題場”，好的情境無疑起到了“場”的作用。

第四，94—98年度的世界數學聯盟主席D.Mumford在1998年論述現代數學的趨勢時說，“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認這一點，數學將會從中受益”。

那么，創(chuàng)造好的模型往往需要有一個好的情境，當然這個情境可以是生活的，也可以是數學的。

呂傳漢教授則結合他們課題組十余年的成果，介紹了數學“情境——問題”教學的基本理念：重視數學情境的創(chuàng)設；重視問題意識的培養(yǎng)（數學教學要不斷喚起學生的好奇心、質疑、批判和探究的意識，恰當地引導學生提出問題，并以問題趨動教學）；重視學生的“數學獲得”；重視創(chuàng)新意識的培養(yǎng)；重視探究精神的培養(yǎng)。數學“情境——問題”教學中倡導使用以“啟發(fā)式”為核心的靈活多樣的教學方法，采取以“探究式”為中心的自主合作的學習方式，重視引導學生在探究中學習，在學習中探究。這些育人的教學理念，既繼承了中華傳統(tǒng)教育的寶貴經驗，又吸收了西方現代教育思想的精華，因此，在數學課堂教學中，要針對不同學段學生的實際和不同的學習內容，在靈活采用的各種教學方法中，恰當地深透數學“情境——問題”教學的基本理念。

從諸位教育專家和網友的論述看，雖然對情境的具體表述不盡相同，但是他們結合課程改革的理念，將數學問題情境作為一種教育觀念的大轉變，認為它有利于培養(yǎng)學生提出問題的能力和提高學生的創(chuàng)新品質，它關系民族創(chuàng)新和振興的宏觀視野是基本一致的。理論上的探討，也為具體的教學實踐明晰了方向。

 

5. 什么樣的情境是一個好的問題情境？

劉兼教授認為：一個好的問題情境對于理解新的數學概念、形成新的數學原理、產生新的數學公式，或蘊含新的數學思想會有積極的促進作用；能夠充分調動起學生原有的生活經驗或數學背景，更能激發(fā)起由情境引起的數學意義的思考，從而讓學生有機會經歷“問題情境——建立模型——解釋或應用”這一重要的數學活動過程。因此，情境并不必須聯系生活。能與學生原有知識背景相聯系，同時又會產生新的認知沖突，同樣是好的情境。比如，從2-1=1，思考1-2=？，不夠減，引入負數，就是一個可取的情境；一個比較好的數學問題情境應該具有衍生性，也就是通過這個情境能夠產生一連串、環(huán)環(huán)相扣、由淺入深的問題。有時發(fā)現一堂課有“過多”的情境，教師每過三五分鐘就會變著法子引出一個新的話題，老師手忙腳亂，學生目不暇接，這一問題值得引起深思。

孫曉天教授：一個好的情境其實是很簡單的。如一架梯子，靠在墻上，太陡了不行，太平了也不行，這個“陡”不“陡”是生活中的事，這里又是數學的事，“陡”不“陡”其實就是梯子長度和梯子的影子這兩條“邊”的比的大小問題，這個“比”的大小就是數學的學問了。伴隨著思考和討論，漸漸地“正切”就出來了。梯子“陡”不“陡”是情境，研究三角比從這里開始肯定比直接從抽象的直角三角形開始好。學生的經驗派上用場，發(fā)現成了實實在在的教學活動目標，不僅數學味道濃濃，而且學生不會被動。這就是好的問題情境。

從網友與專家的論述，可以看出，評價一個問題情境優(yōu)劣的標準，仍然是數學問題情境在教學中所起的作用，也就是我們創(chuàng)設問題情境的目的。脫離了教學目的去評價教學情境的優(yōu)劣是舍本逐末，沒有意義的。

 

6. 數學問題情境如何創(chuàng)設。

呂傳漢先生、夏小剛先生提出了數學情境的創(chuàng)設應遵循的要求：（1）合理性。即情境創(chuàng)設中的背景信息應符合現實生活場景和事物運動的客觀規(guī)律，其數學信息應符合學生的認知發(fā)展規(guī)律；（2）問題導向性。即數學情境的創(chuàng)設應以激發(fā)學生問題意識為價值取向。（3）有效性。即數學情境的創(chuàng)設應以教學目標的有效實現為著力點。夏小剛先生則結合案例對以上三方面做了具體的闡釋，指出：強調情境創(chuàng)設的問題導向性，這將給學生提供一個超越文本的數學思維的時空。在教學中，盡管對已經提出來的數學問題進行解答可能會超出學生和教師的能力，但是，這種情境設置有助于學生問題意識和探究意識的發(fā)展。

張丹副教授建議，設計情境首先要考慮設計情境的目的。她不希望老師過早地去陷入細節(jié)的設計。首先需要考慮通過情境的創(chuàng)設希望學生獲得什么數學？情境所服從的內容的數學核心是什么?同時,情境的設計還要基于學生的現實。了解學生的現實要有一定的依據，不能僅僅靠經驗，還要靠調研。

馬岷興教授提出：我們應該追求一些更能表現“數學的文化價值”的數學情境。文化層面的教學設計基于：數學不僅僅是一些干巴巴的條文，它是密切和人類文化聯系在一起的。了解數學，有三個層面：一個層面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等等。 第二個層面就是方法，比如加減消元、數形結合等等。還有一個層面就是文化價值。

康紀權教授和楊孝斌先生、宋運明老師提到呂傳漢、汪秉彝先生主編的《數學情境與數學問題》一書，該書展示了創(chuàng)設數學情境的多種有效途徑和豐富的取材來源，李明振博士給出了創(chuàng)設數學情境具體方法，對一線老師的教學有很好的指導作用。當然，好的情境還與教師的使用有關，同樣是用過河的情境學習平均數，有的教師使問題討論偏離了主題；而吳正憲老師用得很精彩。這里又有一個將情境用好，用足的問題。因此，論壇的討論也涉及了如何發(fā)揮教師的導向作用，培養(yǎng)學生提出問題的能力及教材情境圖的使用等具體問題。

 

7. 如何發(fā)揮教師的導向作用，培養(yǎng)學生提出問題的能力。

促使學生提出數學問題，提高學生的創(chuàng)新能力，這是情境教學的主要目的之一。就如何發(fā)揮教師的導向作用，培養(yǎng)學生提出問題能力，楊孝斌先生認為要考慮以下五個方面：（1）教師希望學生提出什么問題？學生能否提出這些問題？要創(chuàng)設適合學生認知水平、接近學生數學學習的“最近發(fā)展區(qū)”的數學情境才能更好地激發(fā)學生的數學學習興趣和激情。（2）如何引導學生提出數學問題？在問題情境的創(chuàng)設過程中，要考慮到情境對問題的指向性與暗示性，以有利于誘發(fā)學生提出與教學內容密切相關的數學問題而不是雜亂無章、與教學內容不一致甚至毫不相干的問題。（3）學生提出的問題是否具有合理性？（4）教師該怎樣處理學生提出的問題？（5）怎樣促使學生自己解決其中的關鍵問題？網友紅螞蟻建議：教師作為學生的主導者，要正視、發(fā)揮教師情境的潛在功能，善于在“趣”與“思”之間尋求結合點。還要重視“問題串”的作用。網友云的衣裳介紹了自己的做法：（1）讓情境來源于熟悉的生活。從兒童的角度看生活，努力避免成人化的說教，設計可親可近的情境；從教學法的角度去加工原始的生活素材。（2）讓問題發(fā)端于展開的情景。讓學生入境，培養(yǎng)學生的數學眼光。（3）采取多種多樣的方式創(chuàng)設情境。

 

8.如何使用教材的主題情境圖

呂傳漢先生認為：在教學中，教材提供的是一種教學線索。而教材中的主題圖只是教材內容的一部分，其使用與否也應看該圖是否有利于教師的教學。因此，丟開主題圖進行教學，且學生能夠學好相關知識，這種教學至少反映了教師對教材的不盲從。根據學生的數學基礎，在教學中創(chuàng)造性地使用教材，這是對教師的基本要求。網友建議用好教材的主題圖可以從下面幾個方面著手：領會“主題圖”的豐富內涵；將靜態(tài)情景圖轉化為操作性的動態(tài)情境；合理把握呈現方式和呈現時機。為避免學生提出的問題漫無邊際脫離數學，有網友建議：教學中最好不用“你能提出哪些問題？”，而是問“你能提出哪些數學問題？”，一旦學生出現“漫無邊際”的苗頭時，要立刻把他們引回到數學的世界里來，讓學生在數學的內容范圍里討論。